(1) 関数 $f(x)$ が $f(x) = 4x + \int_{0}^{1} (t+x) f(t) dt$ を満たすとき、$f(x)$ の定数項の値を求める。 (2) $\int_{a}^{x} (g(t) + t g(a)) dt = x^2 - 2x - 3$ を満たす定数 $a$ と関数 $g(x)$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x)$ が $f(x) = 4x + \int_{0}^{1} (t+x) f(t) dt$ を満たすとき、$f(x)$ の定数項の値を求める。

(2) $\int_{a}^{x} (g(t) + t g(a)) dt = x^2 - 2x - 3$ を満たす定数 $a$ と関数 $g(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\int_{0}^{1} (t+x) f(t) dt$ を計算しやすくするために、積分を分解します。

$\int_{0}^{1} (t+x) f(t) dt = \int_{0}^{1} t f(t) dt + x \int_{0}^{1} f(t) dt$

ここで、$A = \int_{0}^{1} t f(t) dt$ 、$B = \int_{0}^{1} f(t) dt$ とおくと、これらは定数です。

すると、$f(x) = 4x + A + Bx$ と書けます。つまり、$f(x) = (4+B)x + A$ です。

次に、$A$ と $B$ の値を求めます。

$A = \int_{0}^{1} t f(t) dt = \int_{0}^{1} t ((4+B)t + A) dt = \int_{0}^{1} ((4+B)t^2 + At) dt = \left[ \frac{4+B}{3} t^3 + \frac{A}{2} t^2 \right]_{0}^{1} = \frac{4+B}{3} + \frac{A}{2}$

よって、$A = \frac{4+B}{3} + \frac{A}{2}$ となり、$6A = 8 + 2B + 3A$ より、$3A = 8 + 2B$ が得られます。

$B = \int_{0}^{1} f(t) dt = \int_{0}^{1} ((4+B)t + A) dt = \left[ \frac{4+B}{2} t^2 + At \right]_{0}^{1} = \frac{4+B}{2} + A$

よって、$B = \frac{4+B}{2} + A$ となり、$2B = 4 + B + 2A$ より、$B = 4 + 2A$ が得られます。

$B = 4+2A$ を $3A = 8 + 2B$ に代入すると、$3A = 8 + 2(4+2A) = 8 + 8 + 4A$ となり、$3A = 16 + 4A$ より、$A = -16$ が得られます。

$B = 4 + 2A = 4 + 2(-16) = 4 - 32 = -28$ となります。

したがって、$f(x) = (4+B)x + A = (4 - 28)x - 16 = -24x - 16$ となります。

$f(x)$ の定数項は $-16$ です。

(2)

$\int_{a}^{x} (g(t) + t g(a)) dt = x^2 - 2x - 3$

両辺を $x$ で微分すると、

$g(x) + x g(a) = 2x - 2$

$x = a$ を代入すると、$g(a) + a g(a) = 2a - 2$ より、$(1+a) g(a) = 2a - 2$ が得られます。

元の式に $x = a$ を代入すると、$\int_{a}^{a} (g(t) + t g(a)) dt = 0$ なので、$a^2 - 2a - 3 = 0$ となります。

$(a-3)(a+1) = 0$ より、$a = 3$ または $a = -1$ です。

(i) $a = 3$ のとき、$(1+3) g(3) = 2(3) - 2$ より、$4 g(3) = 4$ なので、$g(3) = 1$ となります。

$g(x) = 2x - 2 - x g(a) = 2x - 2 - x g(3) = 2x - 2 - x = x - 2$

$g(x) = x - 2$

(ii) $a = -1$ のとき、$(1-1) g(-1) = 2(-1) - 2$ より、$0 \cdot g(-1) = -4$ となり、これは矛盾です。よって、$a=-1$ は解になりません。

したがって、$a = 3$ かつ $g(x) = x - 2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ の定数項の値: $-16$

(2) $a = 3$, $g(x) = x - 2$