次の6つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $cos(3x)$ (2) $cos(7x+2)$ (3) $cos(1-3x)$ (4) $cos(-x^2)$ (5) $cos^2(x)$ (6) $cos(\frac{1}{x+1})$

1. 問題の内容

次の6つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $cos(3x)$

(2) $cos(7x+2)$

(3) $cos(1-3x)$

(4) $cos(-x^2)$

(5) $cos^2(x)$

(6) $cos(\frac{1}{x+1})$

2. 解き方の手順

各関数について、微分を行います。

(1) $cos(3x)$ の微分:

合成関数の微分公式を用います。$y = cos(u)$, $u = 3x$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ です。

$\frac{dy}{du} = -sin(u)$ 、$\frac{du}{dx} = 3$ なので、

$\frac{dy}{dx} = -sin(u) \cdot 3 = -3sin(3x)$

(2) $cos(7x+2)$ の微分:

同様に合成関数の微分公式を用います。$y = cos(u)$, $u = 7x+2$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ です。

$\frac{dy}{du} = -sin(u)$ 、$\frac{du}{dx} = 7$ なので、

$\frac{dy}{dx} = -sin(u) \cdot 7 = -7sin(7x+2)$

(3) $cos(1-3x)$ の微分:

同様に合成関数の微分公式を用います。$y = cos(u)$, $u = 1-3x$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ です。

$\frac{dy}{du} = -sin(u)$ 、$\frac{du}{dx} = -3$ なので、

$\frac{dy}{dx} = -sin(u) \cdot (-3) = 3sin(1-3x)$

(4) $cos(-x^2)$ の微分:

同様に合成関数の微分公式を用います。$y = cos(u)$, $u = -x^2$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ です。

$\frac{dy}{du} = -sin(u)$ 、$\frac{du}{dx} = -2x$ なので、

$\frac{dy}{dx} = -sin(u) \cdot (-2x) = 2xsin(-x^2) = -2xsin(x^2)$

ここで、$sin(-x^2) = -sin(x^2)$ を用いました。

(5) $cos^2(x)$ の微分:

合成関数の微分公式を用います。$y = u^2$, $u = cos(x)$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ です。

$\frac{dy}{du} = 2u$ 、$\frac{du}{dx} = -sin(x)$ なので、

$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot (-sin(x)) = 2cos(x) \cdot (-sin(x)) = -2sin(x)cos(x) = -sin(2x)$

ここで、$2sin(x)cos(x) = sin(2x)$ を用いました。

(6) $cos(\frac{1}{x+1})$ の微分:

同様に合成関数の微分公式を用います。$y = cos(u)$, $u = \frac{1}{x+1}$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ です。

$\frac{dy}{du} = -sin(u)$ 、$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{(x+1)^2}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = -sin(u) \cdot (-\frac{1}{(x+1)^2}) = \frac{1}{(x+1)^2}sin(\frac{1}{x+1})$

3. 最終的な答え

(1) $-3sin(3x)$

(2) $-7sin(7x+2)$

(3) $3sin(1-3x)$

(4) $-2xsin(x^2)$

(5) $-sin(2x)$

(6) $\frac{1}{(x+1)^2}sin(\frac{1}{x+1})$