2次方程式 $2x^2 + 3x + k = 0$ の2つの解の比が $1:2$ であるとき、定数 $k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 3x + k = 0$ の2つの解の比が $1:2$ であるとき、定数 $k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの解を $\alpha$、$2\alpha$ とおく。解と係数の関係より、

* 2つの解の和は $-\frac{3}{2}$ であるから、

$$\alpha + 2\alpha = -\frac{3}{2}$$

$$3\alpha = -\frac{3}{2}$$

$$\alpha = -\frac{1}{2}$$

* 2つの解の積は $\frac{k}{2}$ であるから、

$$\alpha \cdot 2\alpha = \frac{k}{2}$$

$$2\alpha^2 = \frac{k}{2}$$

$$k = 4\alpha^2$$

$\alpha = -\frac{1}{2}$ を代入して、

$$k = 4\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 4\left(\frac{1}{4}\right) = 1$$

3. 最終的な答え

$k = 1$