数列$\{a_n\}$が与えられており、漸化式は$a_{n+1} = \frac{2a_n + s}{a_n + 2}$ で定義されます。初期値は$a_1 = \frac{1}{2}$です。$s=0$の場合と$s=1$の場合について、数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が与えられており、漸化式は$a_{n+1} = \frac{2a_n + s}{a_n + 2}$ で定義されます。初期値は$a_1 = \frac{1}{2}$です。$s=0$の場合と$s=1$の場合について、数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $s=0$ の場合:

$a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n+2}$

花子さんのアドバイスに従い、$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、

$b_{n+1} = \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_n+2}{2a_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{a_n} = \frac{1}{2} + b_n$

これは公差が $\frac{1}{2}$ の等差数列である。

$b_1 = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ であるから、

$b_n = 2 + (n-1)\frac{1}{2} = 2 + \frac{n}{2} - \frac{1}{2} = \frac{n}{2} + \frac{3}{2} = \frac{n+3}{2}$

したがって、$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{2}{n+3}$

(2) $s=1$ の場合:

$a_{n+1} = \frac{2a_n+1}{a_n+2}$

花子さんのアドバイスに従い、$c_n = \frac{1+a_n}{1-a_n}$ とおくと、

$c_{n+1} = \frac{1+a_{n+1}}{1-a_{n+1}} = \frac{1+\frac{2a_n+1}{a_n+2}}{1-\frac{2a_n+1}{a_n+2}} = \frac{(a_n+2)+(2a_n+1)}{(a_n+2)-(2a_n+1)} = \frac{3a_n+3}{-a_n+1} = \frac{3(a_n+1)}{-(a_n-1)} = -3 \cdot \frac{a_n+1}{a_n-1} = 3 \cdot \frac{1+a_n}{1-a_n} = 3c_n$

これは公比が $3$ の等比数列である。

$c_1 = \frac{1+a_1}{1-a_1} = \frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$ であるから、

$c_n = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$

$c_n = \frac{1+a_n}{1-a_n} = 3^n$ より、$1+a_n = 3^n(1-a_n) = 3^n - 3^n a_n$

$a_n + 3^n a_n = 3^n - 1$

$a_n(1+3^n) = 3^n - 1$

$a_n = \frac{3^n-1}{3^n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{2}{n+3}$

(2) $a_n = \frac{3^n-1}{3^n+1}$

したがって、ウ = $3^n - 1$, エ = $n$, オ = $3$、カ = ② ($n$)