問題は、数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+1} = \frac{2a_n + s}{a_n + 2}$ および初項 $a_1 = \frac{1}{2}$ で定義されるとき、パラメータ $s$ が $0$ と $1$ のそれぞれの場合について、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めるものです。

1. 問題の内容

問題は、数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+1} = \frac{2a_n + s}{a_n + 2}$ および初項 $a_1 = \frac{1}{2}$ で定義されるとき、パラメータ $s$ が $0$ と $1$ のそれぞれの場合について、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めるものです。

2. 解き方の手順

(1) $s = 0$ の場合:

花子の助言に従い、$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおきます。漸化式 $a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 2}$ の逆数を取ると、

$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_n + 2}{2a_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{a_n}$

したがって、$b_{n+1} = \frac{1}{2} + b_n$ となります。これは数列 $\{b_n\}$ が公差 $\frac{1}{2}$ の等差数列であることを示しています。初項は $b_1 = \frac{1}{a_1} = 2$ です。

よって、$b_n = b_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)\frac{1}{2} = \frac{n+3}{2}$ となります。

したがって、$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{2}{n+3}$ です。

(2) $s = 1$ の場合:

花子の助言に従い、$c_n = \frac{1+a_n}{1-a_n}$ とおきます。漸化式 $a_{n+1} = \frac{2a_n + 1}{a_n + 2}$ から、

$c_{n+1} = \frac{1 + a_{n+1}}{1 - a_{n+1}} = \frac{1 + \frac{2a_n + 1}{a_n + 2}}{1 - \frac{2a_n + 1}{a_n + 2}} = \frac{(a_n + 2) + (2a_n + 1)}{(a_n + 2) - (2a_n + 1)} = \frac{3a_n + 3}{-a_n + 1} = \frac{3(a_n + 1)}{-(a_n - 1)} = -3\frac{a_n+1}{a_n-1}=-3\frac{1+a_n}{1-a_n} = -3c_n$.

これは数列 $\{c_n\}$ が公比 $-3$ の等比数列であることを示しています。初項は $c_1 = \frac{1+a_1}{1-a_1} = \frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$ です。

よって、$c_n = c_1 r^{n-1} = 3(-3)^{n-1} = (-3)^n/(-3)^{-1} = -(-3)^n$ となります。

$c_n = \frac{1+a_n}{1-a_n}$ より、$c_n(1-a_n) = 1 + a_n$ なので、$c_n - c_n a_n = 1 + a_n$。これから $a_n$ を求めます。

$a_n(1 + c_n) = c_n - 1$ なので、$a_n = \frac{c_n - 1}{c_n + 1} = \frac{-(-3)^n - 1}{-(-3)^n + 1} = \frac{(-3)^n + 1}{(-3)^n - 1} = \frac{ (-3)^n - 1 + 2}{ (-3)^n - 1} = 1+ \frac{2}{(-3)^n - 1}$

したがって、$a_n = \frac{(-3)^n + 1}{(-3)^n - 1}$ となります。

したがって、

$a_n = 1+\frac{2}{(-3)^n -1}$ なので、

$a_n = \frac{1}{1}\frac{2}{(-3)^n -1}$.

3. 最終的な答え

(1) $s=0$ のとき: $a_n = \frac{2}{n+3}$

(2) $s=1$ のとき: $a_n = \frac{(-3)^n + 1}{(-3)^n - 1}$

よって、アは3、ウは1、エは2、オはn、カは③ n+1です。