数列$\{a_n\}$が漸化式 $a_1 = \frac{1}{2}, \ a_{n+1} = \frac{2a_n + s}{a_n + 2}$ で定義されている。$s = 0, 1$ のそれぞれについて、数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が漸化式 $a_1 = \frac{1}{2}, \ a_{n+1} = \frac{2a_n + s}{a_n + 2}$ で定義されている。$s = 0, 1$ のそれぞれについて、数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $s = 0$ のとき

花子の助言より、$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、

$b_{n+1} = \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_n + 2}{2a_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{a_n} = \frac{1}{2} + b_n$

これは数列$\{b_n\}$が公差 $\frac{1}{2}$ の等差数列であることを意味する。

初項は $b_1 = \frac{1}{a_1} = 2$ であるから、

$b_n = 2 + (n-1)\frac{1}{2} = \frac{n+3}{2}$

したがって、$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{2}{n+3}$

(2) $s = 1$ のとき

花子の助言より、$c_n = \frac{1+a_n}{1-a_n}$ とおく。

$c_{n+1} = \frac{1+a_{n+1}}{1-a_{n+1}} = \frac{1 + \frac{2a_n+1}{a_n+2}}{1 - \frac{2a_n+1}{a_n+2}} = \frac{a_n+2 + 2a_n+1}{a_n+2 - (2a_n+1)} = \frac{3a_n+3}{-a_n+1} = \frac{3(a_n+1)}{-(a_n-1)} = -3 \frac{1+a_n}{1-a_n} = -3c_n$

これは数列$\{c_n\}$が公比 $-3$ の等比数列であることを意味する。

初項は $a_1 = \frac{1}{2}$ より、 $c_1 = \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$

したがって、$c_n = 3(-3)^{n-1} = (-3)^{n-1} \cdot 3 = (-3)^{n-1} \cdot (-3)^{-1} \cdot (-9) = (-3)^{n-2} (-9)$

ここで、$c_n = \frac{1+a_n}{1-a_n}$ を $a_n$ について解くと、

$c_n(1-a_n) = 1+a_n$

$c_n - c_n a_n = 1 + a_n$

$c_n - 1 = a_n + c_n a_n$

$c_n - 1 = a_n(1+c_n)$

$a_n = \frac{c_n - 1}{c_n + 1} = \frac{(-3)^n - 1}{(-3)^n + 1}$

したがって、$a_n = \frac{c_n-1}{c_n+1} = \frac{3(-3)^{n-1}-1}{3(-3)^{n-1}+1} = \frac{(-3)^n-1}{(-3)^n+1}$

最終的な答え

(1) $a_n = \frac{2}{n+3}$

ア = 2, イ = 3

(2) $a_n = \frac{(-3)^{n-1} - 1}{(-3)^{n-1} + 1}$

ウ = -3, エ = n-1, オ = -3

カ = 1