数列 $\{a_n\}$ が与えられ、漸化式 $a_{n+1} = \frac{2a_n+s}{a_n+2}$ と初期値 $a_1 = \frac{1}{2}$ が与えられています。$s=0$ および $s=1$ のそれぞれの場合について、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられ、漸化式 $a_{n+1} = \frac{2a_n+s}{a_n+2}$ と初期値 $a_1 = \frac{1}{2}$ が与えられています。$s=0$ および $s=1$ のそれぞれの場合について、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $s=0$ の場合

花子の助言に従い、$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおきます。

$a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n+2}$ なので、

$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_n+2}{2a_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{a_n}$

$b_{n+1} = \frac{1}{2} + b_n$

これは等差数列を表しており、初項 $b_1 = \frac{1}{a_1} = 2$、公差 $\frac{1}{2}$ です。

$b_n = b_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)\frac{1}{2} = 2 + \frac{n}{2} - \frac{1}{2} = \frac{n}{2} + \frac{3}{2} = \frac{n+3}{2}$

したがって、

$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{2}{n+3}$

(2) $s=1$ の場合

花子の助言に従い、$c_n = \frac{1+a_n}{1-a_n}$ とおきます。

$c_{n+1} = \frac{1+a_{n+1}}{1-a_{n+1}} = \frac{1+\frac{2a_n+1}{a_n+2}}{1-\frac{2a_n+1}{a_n+2}} = \frac{(a_n+2)+(2a_n+1)}{(a_n+2)-(2a_n+1)} = \frac{3a_n+3}{-a_n+1} = \frac{3(a_n+1)}{-(a_n-1)} = -3\frac{a_n+1}{a_n-1} = 3\frac{1+a_n}{1-a_n} = 3c_n$

これは等比数列を表しており、初項 $c_1 = \frac{1+a_1}{1-a_1} = \frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$、公比 $3$ です。

$c_n = c_1 r^{n-1} = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$

$c_n = \frac{1+a_n}{1-a_n}$ より、$c_n(1-a_n) = 1+a_n$

$c_n - c_n a_n = 1 + a_n$

$a_n(1+c_n) = c_n-1$

$a_n = \frac{c_n-1}{c_n+1} = \frac{3^n-1}{3^n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{2}{n+3}$

ア：2

イ：3

(2) $a_n = \frac{3^n-1}{3^n+1}$

ウ：3

エ：n

オ：n

カ：2