問題は、数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+1} = \frac{2a_n+s}{a_n+2}$ および初期条件 $a_1 = \frac{1}{2}$ を満たすとき、$s=0$ および $s=1$ それぞれの場合について、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+1} = \frac{2a_n+s}{a_n+2}$ および初期条件 $a_1 = \frac{1}{2}$ を満たすとき、$s=0$ および $s=1$ それぞれの場合について、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $s=0$ のとき

$a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n+2}$

$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、

$b_{n+1} = \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_n+2}{2a_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{a_n} = \frac{1}{2} + b_n$

これは $b_n$ が公差 $\frac{1}{2}$ の等差数列であることを意味します。

$b_1 = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ であるから、

$b_n = b_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)\frac{1}{2} = 2 + \frac{n}{2} - \frac{1}{2} = \frac{n}{2} + \frac{3}{2} = \frac{n+3}{2}$

したがって、

$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{2}{n+3}$

よって、アは2、イは3。

(2) $s=1$ のとき

$a_{n+1} = \frac{2a_n+1}{a_n+2}$

$c_n = \frac{1+a_n}{1-a_n}$ とおくと、

$c_{n+1} = \frac{1+a_{n+1}}{1-a_{n+1}} = \frac{1+\frac{2a_n+1}{a_n+2}}{1-\frac{2a_n+1}{a_n+2}} = \frac{a_n+2+2a_n+1}{a_n+2-(2a_n+1)} = \frac{3a_n+3}{-a_n+1} = \frac{3(a_n+1)}{1-a_n} = 3c_n$

これは $c_n$ が公比 3 の等比数列であることを意味します。

$c_1 = \frac{1+a_1}{1-a_1} = \frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$

したがって、$c_n = c_1 \cdot 3^{n-1} = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$

$c_n = \frac{1+a_n}{1-a_n}$ より、$c_n(1-a_n) = 1+a_n$

$c_n - c_n a_n = 1+a_n$

$a_n(c_n+1) = c_n - 1$

$a_n = \frac{c_n-1}{c_n+1} = \frac{3^n-1}{3^n+1}$

$a_n = \frac{3^n - 1}{3^n + 1}$

したがって、ウは $3^n-1$、エは $n$、オは $3^n$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{2}{n+3}$

(2) $a_n = \frac{3^n - 1}{3^n + 1}$ であり、力は ② である。