数列 $\{a_n\}$ が与えられており、漸化式 $a_1 = \frac{1}{2}$, $a_{n+1} = \frac{2a_n + s}{a_n + 2}$ を満たす。$s = 0$ および $s = 1$ の場合に、それぞれ $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、漸化式 $a_1 = \frac{1}{2}$, $a_{n+1} = \frac{2a_n + s}{a_n + 2}$ を満たす。$s = 0$ および $s = 1$ の場合に、それぞれ $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) $s = 0$ の場合、$a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 2}$ である。$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_n + 2}{2a_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{a_n}$ となるから、$b_{n+1} = \frac{1}{2} + b_n$ となる。これは公差 $\frac{1}{2}$ の等差数列である。$b_1 = \frac{1}{a_1} = 2$ であるから、$b_n = 2 + (n-1)\frac{1}{2} = \frac{n+3}{2}$ となる。したがって、$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{2}{n+3}$ である。

(2) $s = 1$ の場合、$a_{n+1} = \frac{2a_n + 1}{a_n + 2}$ である。$c_n = \frac{1 + a_n}{1 - a_n}$ とおくと、$c_{n+1} = \frac{1 + a_{n+1}}{1 - a_{n+1}} = \frac{1 + \frac{2a_n + 1}{a_n + 2}}{1 - \frac{2a_n + 1}{a_n + 2}} = \frac{a_n + 2 + 2a_n + 1}{a_n + 2 - (2a_n + 1)} = \frac{3a_n + 3}{-a_n + 1} = -3\frac{a_n + 1}{a_n - 1} = 3\frac{a_n + 1}{1 - a_n} = 3c_n$ となる。

したがって、$c_n$ は公比 $3$ の等比数列である。$c_1 = \frac{1 + a_1}{1 - a_1} = \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$ であるから、$c_n = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$ である。

$c_n = \frac{1 + a_n}{1 - a_n}$ より、 $c_n(1 - a_n) = 1 + a_n$ であるから、$c_n - c_n a_n = 1 + a_n$ となり、$a_n(c_n + 1) = c_n - 1$ である。したがって、$a_n = \frac{c_n - 1}{c_n + 1} = \frac{3^n - 1}{3^n + 1}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{2}{n+3}$

(2) $a_n = \frac{3^n - 1}{3^n + 1}$

したがって、ウは3、エはn、オはnであり、カは2。