数列 $\{a_n\}$ が与えられており、初期値 $a_1 = \frac{1}{2}$ と漸化式 $a_{n+1} = \frac{2a_n + s}{a_n + 2}$ で定義される。$s = 0, 1$ のそれぞれの場合について、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、初期値 $a_1 = \frac{1}{2}$ と漸化式 $a_{n+1} = \frac{2a_n + s}{a_n + 2}$ で定義される。$s = 0, 1$ のそれぞれの場合について、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) $s=0$ のとき、花子の助言に従い $b_n = \frac{1}{a_n}$ とおく。このとき、

$b_{n+1} = \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_n + 2}{2a_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{a_n} = \frac{1}{2} + b_n$.

これは数列 $\{b_n\}$ が公差 $\frac{1}{2}$ の等差数列であることを示す。

$b_1 = \frac{1}{a_1} = 2$ であるから、

$b_n = b_1 + (n-1) \cdot \frac{1}{2} = 2 + \frac{n-1}{2} = \frac{4 + n - 1}{2} = \frac{n+3}{2}$.

したがって、

$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{2}{n+3}$.

したがって、ア=2, イ=3

(2) $s=1$ のとき、花子の助言に従い $c_n = \frac{1+a_n}{1-a_n}$ とおく。

$c_{n+1} = \frac{1+a_{n+1}}{1-a_{n+1}} = \frac{1+\frac{2a_n+1}{a_n+2}}{1-\frac{2a_n+1}{a_n+2}} = \frac{(a_n+2)+(2a_n+1)}{(a_n+2)-(2a_n+1)} = \frac{3a_n+3}{-a_n+1} = -3\frac{a_n+1}{a_n-1} = 3\frac{1+a_n}{1-a_n} = 3c_n$.

これは数列 $\{c_n\}$ が公比 3 の等比数列であることを示す。

$c_1 = \frac{1+a_1}{1-a_1} = \frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$ であるから、

$c_n = c_1 \cdot 3^{n-1} = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$.

$c_n = \frac{1+a_n}{1-a_n} = 3^n$ より、

$1+a_n = 3^n(1-a_n) = 3^n - 3^n a_n$,

$(1+3^n)a_n = 3^n - 1$,

$a_n = \frac{3^n - 1}{3^n + 1}$.

ここで、$3^n = (1+2)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 2^k = 1 + n\cdot 2 + \dots$ より,

$a_n = \frac{3^n - 1}{3^n + 1}$.

$a_n = \frac{3^n - 1}{3^n + 1} = \frac{3^n + 1 - 2}{3^n + 1} = 1 - \frac{2}{3^n + 1}$.

問題文の形式に合わせるため、以下のように変形する。

$a_n = \frac{1}{\frac{3^n + 1}{3^n - 1}} = \frac{3^n - 1 + 2}{3^n + 1}$

$a_n = \frac{(3-1)(3^{n-1} + 3^{n-2} + \dots + 1)}{1}$

ここで、$3^n - 1 = (3-1)(3^{n-1} + 3^{n-2} + ... + 1) = 2(\sum_{i=0}^{n-1} 3^i)$.

最終的な式は $a_n = \frac{3^n - 1}{3^n + 1}$ となる。

(2)において問題文の形式に合うように以下のように考える。

$a_n = \frac{3^n - 1}{3^n + 1} = \frac{3^n}{3^n + 1} - \frac{1}{3^n + 1}$.

問題文の形式から，$a_n = \frac{\text{ウ}}{\text{オ}^{n} + 1}$を求める必要がありそう。

$a_n = \frac{3^n-1}{3^n+1} = 1 - \frac{2}{3^n+1}$である。

$a_n = \frac{エ^n - 1}{エ^n + 1}$となるような形を探すと、$3^n -1$と$3^n + 1$の差が2であることから、$a_n = \frac{ウ}{エ^n + 1}-1$と考えることもできる。

ここで、n=1の場合に、$a_1 = \frac{3-1}{3+1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$となり正しい。

また、$a_n = \frac{3^n - 1}{3^n + 1} = \frac{(3^n+1) - 2}{3^n + 1} = 1 - \frac{2}{3^n + 1}$.

すると、$a_n = \frac{3^n - 1}{3^n + 1}$なので、ウ=$3^n-1$、オ=3、エ=nとなりそうだが、問題の形式にあわない。

$a_n = \frac{3^n-1}{3^n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{2}{n+3}$

(2) $a_n = \frac{3^n-1}{3^n+1}$、力の選択肢は存在しない。

ただし、形式から推測すると、

ウ = $3^n-1$, オ = 3, エ = n

しかし、この場合、問題文に示されている形式とは異なる。

また、選択肢(0)~(4)はnの式であるため、エはnの式である必要がある。

もし問題の形式を$a_n = 1 - \frac{2}{3^n + 1}$に合わせるなら、

ウ= 2, オ= 3, エ=n と考えられる。

問題文にある選択肢は、nに関する選択肢であるため、3^nの肩に乗るnの値が問題になっていると推測できる。

したがって、解答は エ= n

最終的な答えは

(1) $a_n = \frac{2}{n+3}$

(2) $a_n = \frac{3^n-1}{3^n+1}$.

ウ=3^n-1, オ=

3. 力=(2)n