2次式 $f(x)$ があり、$x-1$ で割ると余りが2、$x-2$ で割ると余りが7、さらに $\int_{-1}^{1} f(x) dx = -\frac{10}{3}$ である。この2次式 $f(x)$ を求めよ。

## 問題の解答

### (1) の問題

1. 問題の内容

2次式 $f(x)$ があり、$x-1$ で割ると余りが2、$x-2$ で割ると余りが7、さらに $\int_{-1}^{1} f(x) dx = -\frac{10}{3}$ である。この2次式 $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を一般的に $ax^2+bx+c$ とおく。

剰余の定理より、

$f(1) = 2$

$f(2) = 7$

が成り立つ。これらを代入すると、

$a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 2$

$a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c = 7$

これらの式を連立方程式として解くことを考える。

次に、$\int_{-1}^{1} f(x) dx = -\frac{10}{3}$ を計算する。

$\int_{-1}^{1} (ax^2 + bx + c) dx = \left[ \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2} + cx \right]_{-1}^{1} = \left( \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c \right) - \left( -\frac{a}{3} + \frac{b}{2} - c \right) = \frac{2a}{3} + 2c = -\frac{10}{3}$

したがって、$\frac{2a}{3} + 2c = -\frac{10}{3}$ より、$2a + 6c = -10$ 、つまり $a + 3c = -5$ が得られる。

ここで、３つの式

$a + b + c = 2$

$4a + 2b + c = 7$

$a + 3c = -5$

から $a, b, c$ を求める。

最初の２つの式から $b$ を消去する。

$2(a + b + c) = 2a + 2b + 2c = 4$

$4a + 2b + c = 7$

引くと $-2a + c = -3$ より $c = 2a - 3$

これを $a + 3c = -5$ に代入する。

$a + 3(2a - 3) = a + 6a - 9 = 7a - 9 = -5$

$7a = 4$

$a = \frac{4}{7}$

$c = 2a - 3 = 2(\frac{4}{7}) - 3 = \frac{8}{7} - \frac{21}{7} = -\frac{13}{7}$

$a + b + c = 2$ より

$b = 2 - a - c = 2 - \frac{4}{7} - (-\frac{13}{7}) = 2 - \frac{4}{7} + \frac{13}{7} = 2 + \frac{9}{7} = \frac{14}{7} + \frac{9}{7} = \frac{23}{7}$

よって、$f(x) = \frac{4}{7}x^2 + \frac{23}{7}x - \frac{13}{7}$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{4}{7}x^2 + \frac{23}{7}x - \frac{13}{7}$

### (2) の問題

1. 問題の内容

$x$ の2次関数 $f(x)$ が、任意の実数 $a$ に対し、$\int_{a}^{2a} f(x) dx = 14a^3 - 9a^2 - 12a$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x) = Ax^2 + Bx + C$ とおく。

$\int_{a}^{2a} (Ax^2 + Bx + C) dx = \left[ \frac{Ax^3}{3} + \frac{Bx^2}{2} + Cx \right]_{a}^{2a} = \left( \frac{8Aa^3}{3} + \frac{4Ba^2}{2} + 2Ca \right) - \left( \frac{Aa^3}{3} + \frac{Ba^2}{2} + Ca \right) = \frac{7Aa^3}{3} + \frac{3Ba^2}{2} + Ca$

これが $14a^3 - 9a^2 - 12a$ と等しいので、

$\frac{7A}{3} = 14$

$\frac{3B}{2} = -9$

$C = -12$

したがって、

$A = 14 \times \frac{3}{7} = 6$

$B = -9 \times \frac{2}{3} = -6$

$C = -12$

よって、$f(x) = 6x^2 - 6x - 12$

3. 最終的な答え

$f(x) = 6x^2 - 6x - 12$