$y$軸と直線 $y = -1$ を漸近線とし、点 $(1, 2)$ を通る双曲線をグラフとする関数を、$y = \frac{ax + b}{cx + d}$ の形で表す。

1. 問題の内容

$y$軸と直線 $y = -1$ を漸近線とし、点 $(1, 2)$ を通る双曲線をグラフとする関数を、$y = \frac{ax + b}{cx + d}$ の形で表す。

2. 解き方の手順

$y$軸が漸近線であることから、$x = 0$ で定義されない。すなわち、分母が0になる必要がある。したがって、$cx + d = 0$ で $x = 0$ となるので、$d = 0$。

よって、関数は $y = \frac{ax + b}{cx}$ となる。

直線 $y = -1$ が漸近線であることから、$\lim_{x \to \infty} \frac{ax + b}{cx} = -1$ となる。

$\lim_{x \to \infty} \frac{ax + b}{cx} = \frac{a}{c} = -1$ より、$a = -c$。

よって、関数は $y = \frac{-cx + b}{cx}$ となる。

点 $(1, 2)$ を通ることから、$x = 1$ のとき $y = 2$。

$2 = \frac{-c + b}{c}$

$2c = -c + b$

$b = 3c$

よって、関数は $y = \frac{-cx + 3c}{cx}$ となる。

$c \neq 0$ なので、約分して $y = \frac{-x + 3}{x}$。

3. 最終的な答え

$y = \frac{-x + 3}{x}$