与えられた二次関数について、最大値、または最小値を求める問題です。今回は、(4) $y = 2(x-1)(x+4)$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた二次関数について、最大値、または最小値を求める問題です。今回は、(4) $y = 2(x-1)(x+4)$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を展開します。

$y = 2(x-1)(x+4) = 2(x^2 + 4x - x - 4) = 2(x^2 + 3x - 4) = 2x^2 + 6x - 8$

次に、平方完成を行います。

$y = 2x^2 + 6x - 8 = 2(x^2 + 3x) - 8$

$y = 2\left(x^2 + 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) - 8$

$y = 2\left(\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}\right) - 8$

$y = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} - 8$

$y = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} - \frac{16}{2}$

$y = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{25}{2}$

この式から、頂点の座標は$\left(-\frac{3}{2}, -\frac{25}{2}\right)$であることがわかります。

$x^2$の係数が正であるため、下に凸のグラフとなり、最小値を持ちます。

3. 最終的な答え

最小値: $-\frac{25}{2}$

最大値: なし