与えられた対数方程式と対数不等式を解き、空欄を埋める問題です。 (1) $\log_3 (x+1) = 3$ (2) $\log_{\frac{1}{3}} (x-1) > 1$

1. 問題の内容

与えられた対数方程式と対数不等式を解き、空欄を埋める問題です。

(1) $\log_3 (x+1) = 3$

(2) $\log_{\frac{1}{3}} (x-1) > 1$

2. 解き方の手順

(1)

真数条件より、$x+1>0$であるから、$x>-1$。したがって、1の空欄は-1, 2の空欄は1。

与えられた方程式を書き換えると、$\log_3 (x+1) = \log_3 3^3$。したがって、3の空欄は27, 4の空欄は27。

よって、$x+1 = 27$となり、$x = 26$。これは$x>-1$を満たすので、解として適切である。したがって、5の空欄は2, 6の空欄は6。

(2)

真数条件より、$x-1>0$であるから、$x>1$。したがって、7の空欄は1。

与えられた不等式を書き換えると、$\log_{\frac{1}{3}} (x-1) > \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})$。したがって、8の空欄は1, 9の空欄は3。

底$\frac{1}{3}$は1より小さいので、対数の大小関係と真数の大小関係が逆転する。よって、$x-1 < \frac{1}{3}$。これを解くと、$x < \frac{4}{3}$。真数条件$x>1$と合わせて、$1 < x < \frac{4}{3}$。したがって、10の空欄は1, 11の空欄は4, 12の空欄は3。

3. 最終的な答え

(1)

1: -1

2: 1

3: 27

4: 27

5: 2

6: 6

(2)

7: 1

8: 1

9: 3

10: 1

11: 4

12: 3