2次関数の最大値と最小値を求める問題です。定義域が指定されています。 (1) $y=x^2+4x \quad (-1 \le x \le 1)$ (2) $y=x^2+2x-3 \quad (-3 \le x \le 1)$

1. 問題の内容

2次関数の最大値と最小値を求める問題です。定義域が指定されています。

(1) $y=x^2+4x \quad (-1 \le x \le 1)$

(2) $y=x^2+2x-3 \quad (-3 \le x \le 1)$

2. 解き方の手順

(1) $y=x^2+4x$ について、平方完成を行います。

$y = (x^2 + 4x + 4) - 4 = (x+2)^2 - 4$

頂点の座標は $(-2, -4)$ です。

定義域 $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めます。

$x=-1$ のとき $y=(-1+2)^2 - 4 = 1-4 = -3$

$x=1$ のとき $y=(1+2)^2 - 4 = 9-4 = 5$

頂点のx座標$x=-2$は定義域外なので考慮しません。

よって、最大値は $5$ ($x=1$のとき)、最小値は $-3$ ($x=-1$のとき)。

(2) $y=x^2+2x-3$ について、平方完成を行います。

$y = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 3 = (x+1)^2 - 4$

頂点の座標は $(-1, -4)$ です。

定義域 $-3 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めます。

$x=-3$ のとき $y=(-3+1)^2 - 4 = 4-4 = 0$

$x=1$ のとき $y=(1+1)^2 - 4 = 4-4 = 0$

$x=-1$ のとき $y=(-1+1)^2 - 4 = -4$

よって、最大値は $0$ ($x=-3$または$x=1$のとき)、最小値は $-4$ ($x=-1$のとき)。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 5 (x=1), 最小値: -3 (x=-1)

(2) 最大値: 0 (x=-3またはx=1), 最小値: -4 (x=-1)