関数 $y = -x^2 + 6x + c$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が $-2$ であるように、定数 $c$ の値を定め、そのときの最大値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 6x + c$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が $-2$ であるように、定数 $c$ の値を定め、そのときの最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 6x + c = -(x^2 - 6x) + c = -(x^2 - 6x + 9 - 9) + c = -(x - 3)^2 + 9 + c$

頂点の座標は $(3, 9+c)$です。

定義域 $1 \le x \le 4$ を考慮すると、軸 $x=3$ はこの範囲に含まれています。上に凸な放物線なので、頂点で最大値をとり、定義域の両端のいずれかで最小値をとります。

$x=1$ のとき $y = -1^2 + 6(1) + c = -1 + 6 + c = 5 + c$

$x=4$ のとき $y = -4^2 + 6(4) + c = -16 + 24 + c = 8 + c$

したがって、$x=1$ のとき最小値をとることがわかります。最小値が $-2$ であることから、

$5 + c = -2$

$c = -7$

このとき、関数は $y = -x^2 + 6x - 7$ となり、平方完成すると $y = -(x-3)^2 + 9 - 7 = -(x-3)^2 + 2$ となります。

頂点の座標は $(3, 2)$であり、定義域 $1 \le x \le 4$ における最大値は $x=3$ のときの $y$ 座標です。

よって、最大値は $2$ です。

3. 最終的な答え

$c = -7$

最大値：$2$