多項式$P(x)$を$x^2 - x - 2$で割ると余りが$x-1$、$x^2 - 2x - 3$で割ると余りが$3x+1$である。$P(x)$を$x^2 - 5x + 6$で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式$P(x)$を$x^2 - x - 2$で割ると余りが$x-1$、$x^2 - 2x - 3$で割ると余りが$3x+1$である。$P(x)$を$x^2 - 5x + 6$で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$なので、$P(2) = 2-1 = 1$かつ$P(-1) = -1-1 = -2$となる。

$x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$なので、$P(3) = 3(3) + 1 = 10$かつ$P(-1) = 3(-1)+1 = -2$となる。

$P(x)$を$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$で割ったときの余りを$ax+b$とすると、

$P(x) = (x^2-5x+6)Q(x) + ax + b$と表せる。

このとき、$P(2) = 2a + b = 1$かつ$P(3) = 3a + b = 10$が成り立つ。

連立方程式

$2a + b = 1$

$3a + b = 10$

を解く。

第2式から第1式を引くと、$a = 9$

$2(9) + b = 1$

$18 + b = 1$

$b = -17$

したがって、求める余りは$9x-17$である。

3. 最終的な答え

$9x-17$