(1) 次の方程式を解く。 ① $2x - (3x + 1) = 1$ ② $\frac{1}{2} + \frac{x - 4}{3} = \frac{x}{4}$ (2) $x$についての方程式 $2(x+a) = 5x - 1$ の解が $3$ であるとき、$a$ の値を求める。 (3) 集会で、長椅子を何脚か並べた。集まった生徒が、長椅子1脚に4人ずつ座ると23人が座れず、5人ずつ座ると、1人だけが座ることになった長椅子が1脚と誰も座らない長椅子が5脚できた。このとき、集まった生徒の人数を求める。

1. 問題の内容

(1) 次の方程式を解く。

① $2x - (3x + 1) = 1$

② $\frac{1}{2} + \frac{x - 4}{3} = \frac{x}{4}$

(2) $x$についての方程式 $2(x+a) = 5x - 1$ の解が $3$ であるとき、$a$ の値を求める。

(3) 集会で、長椅子を何脚か並べた。集まった生徒が、長椅子1脚に4人ずつ座ると23人が座れず、5人ずつ座ると、1人だけが座ることになった長椅子が1脚と誰も座らない長椅子が5脚できた。このとき、集まった生徒の人数を求める。

2. 解き方の手順

(1) ①

まず、括弧を外します。

$2x - 3x - 1 = 1$

次に、$x$の項をまとめます。

$-x - 1 = 1$

次に、定数項を右辺に移項します。

$-x = 1 + 1$

$-x = 2$

両辺に $-1$ をかけます。

$x = -2$

(1) ②

まず、両辺に12を掛けます（2, 3, 4 の最小公倍数）。

$12 \cdot (\frac{1}{2} + \frac{x - 4}{3}) = 12 \cdot \frac{x}{4}$

分配法則を使って計算します。

$6 + 4(x - 4) = 3x$

$6 + 4x - 16 = 3x$

$4x - 10 = 3x$

$3x$を左辺へ、$-10$を右辺へ移項します。

$4x - 3x = 10$

$x = 10$

(2)

$x = 3$ を方程式 $2(x + a) = 5x - 1$ に代入します。

$2(3 + a) = 5(3) - 1$

$6 + 2a = 15 - 1$

$6 + 2a = 14$

$2a = 14 - 6$

$2a = 8$

$a = \frac{8}{2}$

$a = 4$

(3)

長椅子の数を $n$ とします。

4人ずつ座ると23人が座れないので、生徒の人数は $4n + 23$ と表せます。

5人ずつ座ると1人だけ座る長椅子が1脚と誰も座らない長椅子が5脚できるので、座っている長椅子の数は $n - 5$ 脚です。

したがって、$(n-6)$脚には5人が座り、1脚には1人が座るので、生徒の人数は $5(n - 6) + 1$ と表せます。

生徒の人数は変わらないので、以下の式が成り立ちます。

$4n + 23 = 5(n - 6) + 1$

$4n + 23 = 5n - 30 + 1$

$4n + 23 = 5n - 29$

$5n - 4n = 23 + 29$

$n = 52$

したがって、生徒の人数は $4 \times 52 + 23 = 208 + 23 = 231$ 人です。

3. 最終的な答え

(1) ① $x = -2$

(1) ② $x = 10$

(2) $a = 4$

(3) $231$人