3次方程式 $x^3 + ax^2 - 5x + b = 0$ が $x=-1$ を重解として持つとき、定数 $a$ と $b$ の値を求め、さらに他の解を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 - 5x + b = 0$ が $x=-1$ を重解として持つとき、定数 $a$ と $b$ の値を求め、さらに他の解を求める。

2. 解き方の手順

$x=-1$ が重解であるということは、$x=-1$ を2回解として持つということである。

したがって、与えられた3次式は $(x+1)^2$ で割り切れる。つまり、$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ で割り切れる。

まずは、$x=-1$ を与えられた3次方程式に代入する。

$(-1)^3 + a(-1)^2 - 5(-1) + b = 0$

$-1 + a + 5 + b = 0$

$a + b = -4$ ...(1)

次に、3次式 $x^3 + ax^2 - 5x + b$ を $(x+1)^2 = x^2+2x+1$ で割ることを考える。

ただし、$(x+1)^2$ で割り切れることを利用する。

$x^3 + ax^2 - 5x + b = (x^2+2x+1)(x+c)$ となるはずである。展開すると、

$x^3 + ax^2 - 5x + b = x^3 + (2+c)x^2 + (1+2c)x + c$

係数を比較すると、

$a = 2+c$ ...(2)

$-5 = 1+2c$ ...(3)

$b = c$ ...(4)

式(3)より、

$2c = -6$

$c = -3$

式(4)より、$b = -3$

式(2)より、$a = 2 + (-3) = -1$

(1)の式に$a=-1, b=-3$を代入すると、$-1+(-3) = -4$となり、矛盾しない。

したがって、$x^3 -x^2 - 5x - 3 = (x+1)^2(x-3)$ となる。

$(x+1)^2(x-3)=0$ なので、$x=-1$ (重解) または $x=3$ が解である。

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = -3$

他の解: $3$