(1) ① $y$は$x$に比例し、$x=-3$のとき$y=6$である。$y$を$x$の式で表せ。 ② 80kmの道のりを、時速$x$ kmで走ったときにかかる時間を$y$時間とする。$x$の変域が$4 \le x \le 10$のとき、$y$の変域を求めよ。 (2) $y=ax$のグラフと$y=\frac{12}{x}$のグラフが、点Aで交わっている。$x$軸上に点Bをとり、点Aと点Bを結ぶ。ただし、点Aの$x$座標は正とする。 ① 点Aの$x$座標が3のとき、$a$の値を求めよ。 ② 点Aの$x$座標、$y$座標がともに整数となる$a$の値は何個あるか。 ③ 点Bの$x$座標を7とする。$\triangle OAB$の面積が21のとき、$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1)

① $y$は$x$に比例し、$x=-3$のとき$y=6$である。$y$を$x$の式で表せ。

② 80kmの道のりを、時速$x$ kmで走ったときにかかる時間を$y$時間とする。$x$の変域が$4 \le x \le 10$のとき、$y$の変域を求めよ。

(2)

$y=ax$のグラフと$y=\frac{12}{x}$のグラフが、点Aで交わっている。$x$軸上に点Bをとり、点Aと点Bを結ぶ。ただし、点Aの$x$座標は正とする。

① 点Aの$x$座標が3のとき、$a$の値を求めよ。

② 点Aの$x$座標、$y$座標がともに整数となる$a$の値は何個あるか。

③ 点Bの$x$座標を7とする。$\triangle OAB$の面積が21のとき、$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

① $y$は$x$に比例するので、$y=kx$とおける。$x=-3$のとき$y=6$を代入すると、

$6 = k \times (-3)$

$k = -2$

よって、$y = -2x$

② 時間 = 距離 / 速さなので、$y = \frac{80}{x}$

$x$の変域が$4 \le x \le 10$のとき、$x=4$のとき、$y = \frac{80}{4} = 20$

$x=10$のとき、$y = \frac{80}{10} = 8$

$y$は$x$の減少関数なので、$8 \le y \le 20$

(2)

① 点Aの$x$座標が3のとき、$y = \frac{12}{3} = 4$

点Aは$y=ax$上にあるので、$4 = a \times 3$

$a = \frac{4}{3}$

② 点Aの$x$座標を$t$とすると、点Aの$y$座標は$\frac{12}{t}$。

点Aの$x$座標、$y$座標がともに整数なので、$t$は12の約数である。$t=1,2,3,4,6,12$

$y=ax$より、$a = \frac{y}{x} = \frac{12/t}{t} = \frac{12}{t^2}$

$t=1$のとき、$a=12$

$t=2$のとき、$a=3$

$t=3$のとき、$a=\frac{4}{3}$

$t=4$のとき、$a=\frac{3}{4}$

$t=6$のとき、$a=\frac{1}{3}$

$t=12$のとき、$a=\frac{1}{12}$

したがって、$a$の値は、$12, 3, \frac{4}{3}, \frac{3}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{12}$となる。

点Aの$x$座標、$y$座標がともに整数となる$a$の値は、$12, 3$の2個である。

③ 点Bの座標は$(7,0)$である。点Aの$x$座標を$t$とおくと、点Aの$y$座標は$\frac{12}{t}$。したがって点Aの座標は$(t, \frac{12}{t})$。

$\triangle OAB$の面積は$\frac{1}{2} \times OB \times$点Aの$y$座標なので、

$\frac{1}{2} \times 7 \times \frac{12}{t} = 21$

$\frac{84}{2t} = 21$

$\frac{42}{t} = 21$

$t = 2$

点Aの座標は$(2,6)$。

点Aは$y=ax$上にあるので、$6 = a \times 2$

$a = 3$

3. 最終的な答え

(1)

① $y = -2x$

② $8 \le y \le 20$

(2)

① $a = \frac{4}{3}$

② 2個

③ $a = 3$