与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 & 1 \\ 5 & 9 & 2 & 6 \\ 5 & 3 & 5 & 8 \\ 9 & 7 & 9 & 3 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

3 & 1 & 4 & 1 \\

5 & 9 & 2 & 6 \\

5 & 3 & 5 & 8 \\

9 & 7 & 9 & 3

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

4x4行列の行列式を直接計算するのは大変なので、行または列に関する余因子展開を用いて計算します。ここでは、1行目について余因子展開を行うことにします。

$\det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} + a_{14}C_{14}$

ここで、$a_{ij}$ は行列Aのi行j列の要素、$C_{ij}$ は(i,j)余因子を表します。

$C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$

ここで、$M_{ij}$ は(i,j)小行列式を表します。つまり、行列Aからi行目とj列目を取り除いた3x3行列の行列式です。

まず、$M_{11}$ を計算します。

$$

M_{11} = \det \begin{pmatrix}

9 & 2 & 6 \\

3 & 5 & 8 \\

7 & 9 & 3

\end{pmatrix} = 9(15-72) - 2(9-56) + 6(27-35) = 9(-57) - 2(-47) + 6(-8) = -513 + 94 - 48 = -467

$$

次に、$M_{12}$ を計算します。

$$

M_{12} = \det \begin{pmatrix}

5 & 2 & 6 \\

5 & 5 & 8 \\

9 & 9 & 3

\end{pmatrix} = 5(15-72) - 2(15-72) + 6(45-45) = 5(-57) - 2(-57) + 6(0) = -285 + 114 = -171

$$

次に、$M_{13}$ を計算します。

$$

M_{13} = \det \begin{pmatrix}

5 & 9 & 6 \\

5 & 3 & 8 \\

9 & 7 & 3

\end{pmatrix} = 5(9-56) - 9(15-72) + 6(35-27) = 5(-47) - 9(-57) + 6(8) = -235 + 513 + 48 = 326

$$

次に、$M_{14}$ を計算します。

$$

M_{14} = \det \begin{pmatrix}

5 & 9 & 2 \\

5 & 3 & 5 \\

9 & 7 & 9

\end{pmatrix} = 5(27-35) - 9(45-45) + 2(35-27) = 5(-8) - 9(0) + 2(8) = -40 + 16 = -24

$$

余因子を計算します。

$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = -467$

$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -(-171) = 171$

$C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = 326$

$C_{14} = (-1)^{1+4} M_{14} = -(-24) = 24$

したがって、行列式は次のようになります。

$\det(A) = 3(-467) + 1(171) + 4(326) + 1(24) = -1401 + 171 + 1304 + 24 = 98$

3. 最終的な答え

98