$\int_{0}^{\pi} (\sin 2x + \cos 3x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\pi} (\sin 2x + \cos 3x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sin 2x$ と $\cos 3x$ の不定積分を求めます。

$\int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C$

$\int \cos 3x \, dx = \frac{1}{3} \sin 3x + C$

したがって、

$\int (\sin 2x + \cos 3x) \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{3} \sin 3x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{\pi} (\sin 2x + \cos 3x) \, dx = \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{3} \sin 3x \right]_{0}^{\pi}$

$= \left( -\frac{1}{2} \cos 2\pi + \frac{1}{3} \sin 3\pi \right) - \left( -\frac{1}{2} \cos 0 + \frac{1}{3} \sin 0 \right)$

$= \left( -\frac{1}{2} (1) + \frac{1}{3} (0) \right) - \left( -\frac{1}{2} (1) + \frac{1}{3} (0) \right)$

$= -\frac{1}{2} - \left( -\frac{1}{2} \right)$

$= -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$= 0$

3. 最終的な答え

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