与えられた等比数列の初項から第$n$項までの和$S_n$を求める問題です。ここでは、(2)と(3)の数列について$S_n$を求めます。 (2) $4, 2, 1, \frac{1}{2}, ...$ (3) $2, -8, 32, -128, ...$

1. 問題の内容

与えられた等比数列の初項から第$n$項までの和$S_n$を求める問題です。ここでは、(2)と(3)の数列について$S_n$を求めます。

(2) $4, 2, 1, \frac{1}{2}, ...$

(3) $2, -8, 32, -128, ...$

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式は以下の通りです。

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項数です。

(2)の場合：

* 初項 $a = 4$

* 公比 $r = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

* 項数 $n = n$

したがって、$S_n = \frac{4(1-(\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}} = \frac{4(1-(\frac{1}{2})^n)}{\frac{1}{2}} = 8(1-(\frac{1}{2})^n) = 8 - 8(\frac{1}{2})^n = 8 - (\frac{1}{2})^{n-3}$

(3)の場合：

* 初項 $a = 2$

* 公比 $r = \frac{-8}{2} = -4$

* 項数 $n = n$

したがって、$S_n = \frac{2(1-(-4)^n)}{1-(-4)} = \frac{2(1-(-4)^n)}{5} = \frac{2}{5}(1-(-4)^n)$

3. 最終的な答え

(2) の答え:

$S_n = 8 - (\frac{1}{2})^{n-3}$

(3) の答え:

$S_n = \frac{2}{5}(1-(-4)^n)$