直角三角形ABCにおいて、点PはBからAへ、AからBへ、点QはCからBへ移動する。PとQの速度は毎秒2である。三角形PBQの面積S(t)を求める問題。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、点PはBからAへ、AからBへ、点QはCからBへ移動する。PとQの速度は毎秒2である。三角形PBQの面積S(t)を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $0 \le t \le 3$ のとき:

PB = $2t$, BQ = $12 - 2t$

$S(t) = \frac{1}{2} \cdot PB \cdot BQ = \frac{1}{2} \cdot 2t \cdot (12 - 2t) = t(12 - 2t) = 12t - 2t^2$

$3 \le t \le 6$ のとき:

PはAで折り返すので、PのBからの距離は $2 \cdot 6 - 2t = 12 - 2t$

BQ = $12 - 2t$

$S(t) = \frac{1}{2} \cdot (12 - 2t) \cdot (12 - 2t) = \frac{1}{2} (12 - 2t)^2 = 2(6-t)^2 = 2(36 - 12t + t^2) = 2t^2 - 24t + 72$

(2) $S(t) = 10$ となる $t$ の値を求める。

$0 \le t \le 3$ のとき: $12t - 2t^2 = 10 \Rightarrow 2t^2 - 12t + 10 = 0 \Rightarrow t^2 - 6t + 5 = 0 \Rightarrow (t - 1)(t - 5) = 0$. よって、$t = 1, 5$. $0 \le t \le 3$ より $t = 1$.

$3 \le t \le 6$ のとき: $2t^2 - 24t + 72 = 10 \Rightarrow 2t^2 - 24t + 62 = 0 \Rightarrow t^2 - 12t + 31 = 0$.

$t = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 31}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 124}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 6 \pm \sqrt{5}$.

$3 \le t \le 6$ より $t = 6 - \sqrt{5} \approx 6 - 2.236 = 3.764$.

$t = 6 + \sqrt{5}$ は範囲外。

したがって $t=1, 6-\sqrt{5}$

(3) (i) $0 \le a \le 2$ のとき、

$S(t) = 12t - 2t^2 = -2(t^2 - 6t) = -2((t-3)^2 - 9) = -2(t-3)^2 + 18$.

これは上に凸の放物線であり、軸は $t=3$。

$a \le t \le a+1$ での最大値Mを求める。

軸が区間外なので$t=a+1$で最大値を取る。

$M = S(a+1) = 12(a+1) - 2(a+1)^2 = 12a + 12 - 2(a^2 + 2a + 1) = 12a + 12 - 2a^2 - 4a - 2 = -2a^2 + 8a + 10$

(ii) $m = S(a)$ となる $a$ の範囲を求める。

$S(t) = 12t - 2t^2$ において、$a \le t \le a+1$での最小値が $S(a) = 12a - 2a^2$となる条件を考える。

これは、$t=a+1$の時にS(t)が最大になる場合であるから、上に凸の放物線の軸である $t=3$ から $a < 3$。

最大値がS(a+1),最小値がS(a)となるとき

これは0 <= a <= 2なので成り立つ。

ただし，a > 3 の場合は、最小値は $S(a+1)$となる。

$3 \le a \le 5$ の場合を考える。$S(t) = 2t^2 - 24t + 72$

$a \le t \le a+1$ での最小値が $S(a) = 2a^2 - 24a + 72$となる条件を考える。

$S(t) = 2(t-6)^2$ であり、$t=6$が軸。

軸が $a \le t \le a+1$ の外にある条件なので、$a+1 \le 6$ つまり $a \le 5$

最小値は $a \le t \le a+1$

よって $5$

$0 \le a \le 2$ なので、$M = S(a+1)$ かつ最小値$S(a)$となる。

$2 \le a \le 5$ となり

(iii) $M-m = 8$ となる $a$ を求める。

3. 最終的な答え

7: $12t-2t^2$

8: $2t^2-24t+72$

9: $1, 6-\sqrt{5}$

10: $-2a^2+8a+10$

11: 5

12: $4$