底の変換公式を用いて、次の式を簡単にせよ。 (1) $\log_8 32$ (2) $\log_9 \frac{1}{3}$ (5) $\log_3 8 \cdot \log_4 3$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

底の変換公式を用いて、次の式を簡単にせよ。

(1) $\log_8 32$

(2) $\log_9 \frac{1}{3}$

(5) $\log_3 8 \cdot \log_4 3$

2. 解き方の手順

(1) $\log_8 32$ について

底を2に変換します。

$\log_8 32 = \frac{\log_2 32}{\log_2 8}$

$32 = 2^5$ なので $\log_2 32 = 5$

$8 = 2^3$ なので $\log_2 8 = 3$

$\log_8 32 = \frac{5}{3}$

(2) $\log_9 \frac{1}{3}$ について

底を3に変換します。

$\log_9 \frac{1}{3} = \frac{\log_3 \frac{1}{3}}{\log_3 9}$

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$ なので $\log_3 \frac{1}{3} = -1$

$9 = 3^2$ なので $\log_3 9 = 2$

$\log_9 \frac{1}{3} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$

(5) $\log_3 8 \cdot \log_4 3$ について

$\log_3 8 \cdot \log_4 3 = \log_3 (2^3) \cdot \log_4 3$

$= 3 \log_3 2 \cdot \log_4 3$

底を2に変換すると $\log_4 3 = \frac{\log_2 3}{\log_2 4} = \frac{\log_2 3}{2}$

$3 \log_3 2 \cdot \frac{\log_2 3}{2} = \frac{3}{2} \log_3 2 \cdot \log_2 3$

$\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3}$ より

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\log_2 3} \cdot \log_2 3 = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{3}$

(2) $-\frac{1}{2}$

(5) $\frac{3}{2}$