数列 $\{a_n\}$ において、$\sum_{k=1}^{n} a_k = (n+1)^2$ のとき、$\sum_{k=1}^{n} a_{2k-1}$ の値を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ において、$\sum_{k=1}^{n} a_k = (n+1)^2$ のとき、$\sum_{k=1}^{n} a_{2k-1}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n} a_k = (n+1)^2$ より、

$a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n = (n+1)^2$ である。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ とおくと、$S_n = (n+1)^2$ である。

$a_n = S_n - S_{n-1}$ (ただし、$n \geq 2$) であり、$a_1 = S_1$ である。

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = (n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n+1$

$n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = (1+1)^2 = 4 = 2 \cdot 1 + 2 \neq 2 \cdot 1 + 1$.

よって、

$a_1 = 4$

$a_n = 2n+1$ ($n \geq 2$)

求めるのは $\sum_{k=1}^{n} a_{2k-1}$ である。

$a_{2k-1}$ を求める。

$k=1$ のとき、$2k-1 = 1$ なので、$a_1 = 4$

$k \geq 2$ のとき、$a_{2k-1} = 2(2k-1)+1 = 4k-2+1 = 4k-1$

$\sum_{k=1}^{n} a_{2k-1} = a_1 + \sum_{k=2}^{n} a_{2k-1} = 4 + \sum_{k=2}^{n} (4k-1) = 4 + \sum_{k=2}^{n} 4k - \sum_{k=2}^{n} 1$

$= 4 + 4 \sum_{k=2}^{n} k - \sum_{k=2}^{n} 1 = 4 + 4 (\sum_{k=1}^{n} k - 1) - (n-1)$

$= 4 + 4 (\frac{1}{2}n(n+1) - 1) - (n-1) = 4 + 2n(n+1) - 4 - n + 1$

$= 2n^2 + 2n - n + 1 = 2n^2 + n + 1$

3. 最終的な答え

$2n^2 + n + 1$