不等式 $\frac{1}{x-1} < x-1$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{1}{x-1} < x-1$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理します。

$\frac{1}{x-1} < x-1$

両辺に $(x-1)$ を掛けることはできません。なぜなら、$x-1$ の符号によって不等号の向きが変わる可能性があるからです。

したがって、不等式の両辺から $x-1$ を引いて、

$\frac{1}{x-1} - (x-1) < 0$

$\frac{1 - (x-1)^2}{x-1} < 0$

$\frac{1 - (x^2 - 2x + 1)}{x-1} < 0$

$\frac{1 - x^2 + 2x - 1}{x-1} < 0$

$\frac{-x^2 + 2x}{x-1} < 0$

$\frac{-x(x-2)}{x-1} < 0$

$\frac{x(x-2)}{x-1} > 0$

次に、不等式の符号が変化する点を求めます。それは $x = 0, 1, 2$ です。

$x$ がこれらの値を取るとき、分母または分子がゼロになるため、不等式の符号が変化します。

数直線をこれらの点で区切り、各区間で不等式の符号を調べます。

- $x < 0$ のとき、 $x < 0$, $x-2 < 0$, $x-1 < 0$ なので、$\frac{x(x-2)}{x-1} < 0$

- $0 < x < 1$ のとき、 $x > 0$, $x-2 < 0$, $x-1 < 0$ なので、$\frac{x(x-2)}{x-1} > 0$

- $1 < x < 2$ のとき、 $x > 0$, $x-2 < 0$, $x-1 > 0$ なので、$\frac{x(x-2)}{x-1} < 0$

- $x > 2$ のとき、 $x > 0$, $x-2 > 0$, $x-1 > 0$ なので、$\frac{x(x-2)}{x-1} > 0$

したがって、$\frac{x(x-2)}{x-1} > 0$ を満たす $x$ の範囲は $0 < x < 1$ または $x > 2$ です。

3. 最終的な答え

$0 < x < 1$ または $x > 2$