数列 $\{a_n\}$ は等差数列で、$a_2 = 2$, $a_3 + a_4 + a_5 = 10$ である。 数列 $\{b_n\}$ は公比が正の等比数列で、$b_2 = \frac{3}{2}$, $b_3 + b_4 = 18$ である。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。 (3) 数列 $\{a_n\}$ の項のうち、整数となる項を小さいものから順に並べてできる数列を $\{c_n\}$ とする。このとき、$\sum_{k=1}^n b_k c_k$ を $n$ を用いて表す。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は等差数列で、$a_2 = 2$, $a_3 + a_4 + a_5 = 10$ である。

数列 $\{b_n\}$ は公比が正の等比数列で、$b_2 = \frac{3}{2}$, $b_3 + b_4 = 18$ である。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の項のうち、整数となる項を小さいものから順に並べてできる数列を $\{c_n\}$ とする。このとき、$\sum_{k=1}^n b_k c_k$ を $n$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列 $\{a_n\}$ の初項を $a$, 公差を $d$ とすると、$a_n = a + (n-1)d$ と表せる。

$a_2 = a + d = 2$

$a_3 + a_4 + a_5 = (a + 2d) + (a + 3d) + (a + 4d) = 3a + 9d = 10$

これらの連立方程式を解く。

$a+d = 2$ より $a = 2 - d$

$3(2 - d) + 9d = 10$

$6 - 3d + 9d = 10$

$6d = 4$

$d = \frac{2}{3}$

$a = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

よって、$a_n = \frac{4}{3} + (n-1)\frac{2}{3} = \frac{4 + 2n - 2}{3} = \frac{2n + 2}{3} = \frac{2}{3}(n+1)$.

(2)

等比数列 $\{b_n\}$ の初項を $b$, 公比を $r$ とすると、$b_n = br^{n-1}$ と表せる。

$b_2 = br = \frac{3}{2}$

$b_3 + b_4 = br^2 + br^3 = br^2(1+r) = 18$

$\frac{3}{2}r(1+r) = 18$

$r(1+r) = 12$

$r^2 + r - 12 = 0$

$(r+4)(r-3) = 0$

$r > 0$ より $r = 3$

$b = \frac{3}{2} \div 3 = \frac{1}{2}$

よって、$b_n = \frac{1}{2} \cdot 3^{n-1}$.

(3)

$a_n = \frac{2}{3}(n+1)$ が整数となるのは、$n+1$ が $3$ の倍数であるときである。

つまり、$n+1 = 3k$ ($k$ は整数) とおける。

$n = 3k - 1$

$c_k = a_{3k-1} = \frac{2}{3}(3k-1+1) = \frac{2}{3}(3k) = 2k$

$\sum_{k=1}^n b_k c_k = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2} \cdot 3^{k-1} \cdot 2k = \sum_{k=1}^n k \cdot 3^{k-1}$

$S_n = \sum_{k=1}^n k \cdot 3^{k-1} = 1 + 2\cdot3 + 3\cdot3^2 + \cdots + n\cdot3^{n-1}$

$3S_n = 1\cdot3 + 2\cdot3^2 + 3\cdot3^3 + \cdots + n\cdot3^{n}$

$-2S_n = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} - n \cdot 3^n$

$-2S_n = \frac{1(3^n - 1)}{3-1} - n\cdot 3^n = \frac{3^n - 1}{2} - n\cdot 3^n = \frac{3^n - 1 - 2n \cdot 3^n}{2}$

$S_n = \frac{2n \cdot 3^n - 3^n + 1}{-4} = \frac{(1-2n)3^n - 1}{4}$

よって、$\sum_{k=1}^n b_k c_k = \frac{(1-2n)3^n - 1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{2}{3}(n+1)$

(2) $b_n = \frac{1}{2} \cdot 3^{n-1}$

(3) $\sum_{k=1}^n b_k c_k = \frac{(1-2n)3^n - 1}{4}$