関数 $y = x^2 + x + c + 1$ の $-1 \le x \le 1$ における最大値が5であるとき、定数 $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + x + c + 1$ の $-1 \le x \le 1$ における最大値が5であるとき、定数 $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 + x + c + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + c + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + c + \frac{3}{4}$

この関数のグラフは、下に凸の放物線であり、軸は $x = -\frac{1}{2}$ である。

定義域 $-1 \le x \le 1$ に軸 $x = -\frac{1}{2}$ が含まれているため、頂点で最小値をとる。

最大値は定義域の端のどちらかでとる。$x = -1$ のとき $y = (-1)^2 + (-1) + c + 1 = 1 - 1 + c + 1 = c + 1$

$x = 1$ のとき $y = (1)^2 + (1) + c + 1 = 1 + 1 + c + 1 = c + 3$

$x=1$ のときの方が $y$ の値が大きいので、$x=1$ で最大値をとる。

したがって、$c + 3 = 5$

3. 最終的な答え

$c = 5 - 3 = 2$

よって、$c = 2$