袋の中に白玉が7個、赤玉が5個入っている。この中から同時に5個の玉を取り出すとき、以下の確率を求める。 (1) 白玉が3個、赤玉が2個出る確率 (2) 同じ色の玉が3個出る確率

1. 問題の内容

袋の中に白玉が7個、赤玉が5個入っている。この中から同時に5個の玉を取り出すとき、以下の確率を求める。

(1) 白玉が3個、赤玉が2個出る確率

(2) 同じ色の玉が3個出る確率

2. 解き方の手順

(1) 白玉が3個、赤玉が2個出る確率を求める。

まず、全部で何通りの玉の取り出し方があるかを計算する。これは、12個の玉から5個を選ぶ組み合わせなので、

$_{12}C_5$ 通り。

$_{12}C_5 = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792$

次に、白玉3個、赤玉2個を取り出す組み合わせの数を計算する。白玉7個から3個を選ぶ組み合わせは $_{7}C_3$ 通り、赤玉5個から2個を選ぶ組み合わせは $_{5}C_2$ 通り。

$_{7}C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

$_{5}C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

よって、白玉3個、赤玉2個を取り出す組み合わせは、$35 \times 10 = 350$ 通り。

したがって、求める確率は

$\frac{350}{792} = \frac{175}{396}$

(2) 同じ色の玉が3個出る確率を求める。

同じ色の玉が3個出るのは、以下の2つの場合がある。

(i) 白玉が3個、赤玉が2個出る場合

(ii) 赤玉が3個、白玉が2個出る場合

(i) はすでに(1)で計算しており、350通り。

(ii) 赤玉が3個、白玉が2個出る場合を計算する。赤玉5個から3個を選ぶ組み合わせは $_{5}C_3$ 通り、白玉7個から2個を選ぶ組み合わせは $_{7}C_2$ 通り。

$_{5}C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$_{7}C_2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

よって、赤玉3個、白玉2個を取り出す組み合わせは、$10 \times 21 = 210$ 通り。

したがって、同じ色の玉が3個出る組み合わせは、$350 + 210 = 560$ 通り。

求める確率は

$\frac{560}{792} = \frac{70}{99}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{175}{396}$

(2) $\frac{70}{99}$