$\sqrt{6+4\sqrt{2}}$ の小数部分を $a$ とするとき、$a$ と $a^2 - \frac{1}{a^2}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{6+4\sqrt{2}}$ の小数部分を $a$ とするとき、$a$ と $a^2 - \frac{1}{a^2}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{6+4\sqrt{2}}$ を簡単にします。

$\sqrt{6+4\sqrt{2}} = \sqrt{6+2\sqrt{4\times 2}} = \sqrt{6+2\sqrt{8}}$

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ という公式を利用します。

$a+b = 6$ かつ $ab = 8$ となる $a,b$ を探すと、$a=4, b=2$ が見つかります。

よって、

$\sqrt{6+4\sqrt{2}} = \sqrt{4} + \sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$

$1 < \sqrt{2} < 2$ なので、$2+1 < 2+\sqrt{2} < 2+2$ となり、$3 < 2+\sqrt{2} < 4$。

したがって、$\sqrt{6+4\sqrt{2}}$ の整数部分は3です。

小数部分 $a$ は、

$a = (2+\sqrt{2}) - 3 = \sqrt{2}-1$

次に、$a^2 - \frac{1}{a^2}$ の値を求めます。

$a^2 = (\sqrt{2}-1)^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$

$\frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$

$\frac{1}{a^2} = (\sqrt{2}+1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

したがって、

$a^2 - \frac{1}{a^2} = (3 - 2\sqrt{2}) - (3 + 2\sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2} - 3 - 2\sqrt{2} = -4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{2} - 1$

$a^2 - \frac{1}{a^2} = -4\sqrt{2}$