以下の2つの複素数の計算問題を解きます。 (1) $(\cos{\frac{\pi}{6}} + i\sin{\frac{\pi}{6}})^7$ (2) $(\frac{1+4i}{3-5i})^{-1}$

1. 問題の内容

以下の2つの複素数の計算問題を解きます。

(1) $(\cos{\frac{\pi}{6}} + i\sin{\frac{\pi}{6}})^7$

(2) $(\frac{1+4i}{3-5i})^{-1}$

2. 解き方の手順

(1) ド・モアブルの定理を用いて計算します。ド・モアブルの定理とは、

$(\cos{\theta} + i\sin{\theta})^n = \cos{n\theta} + i\sin{n\theta}$

です。

$(\cos{\frac{\pi}{6}} + i\sin{\frac{\pi}{6}})^7 = \cos{\frac{7\pi}{6}} + i\sin{\frac{7\pi}{6}}$

$\frac{7\pi}{6}$ は第3象限の角であり、基準角は$\frac{\pi}{6}$です。

$\cos{\frac{7\pi}{6}} = -\cos{\frac{\pi}{6}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin{\frac{7\pi}{6}} = -\sin{\frac{\pi}{6}} = -\frac{1}{2}$

したがって、

$(\cos{\frac{\pi}{6}} + i\sin{\frac{\pi}{6}})^7 = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

(2) まず、$\frac{1+4i}{3-5i}$ を計算します。分母を実数化するために、分母の共役複素数 $3+5i$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1+4i}{3-5i} = \frac{(1+4i)(3+5i)}{(3-5i)(3+5i)} = \frac{3+5i+12i+20i^2}{9-25i^2} = \frac{3+17i-20}{9+25} = \frac{-17+17i}{34} = \frac{-1+i}{2}$

次に、$(\frac{1+4i}{3-5i})^{-1}$を計算します。これは$\frac{1}{\frac{1+4i}{3-5i}}$と同じです。したがって、

$(\frac{1+4i}{3-5i})^{-1} = (\frac{-1+i}{2})^{-1} = \frac{2}{-1+i}$

分母を実数化するために、分母の共役複素数 $-1-i$を分母と分子に掛けます。

$\frac{2}{-1+i} = \frac{2(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)} = \frac{-2-2i}{1-i^2} = \frac{-2-2i}{1+1} = \frac{-2-2i}{2} = -1-i$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

(2) $-1-i$