数列$\{a_n\}$の初項は2であり、初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。数列$\{S_n\}$は漸化式$S_{n+1} = \frac{1}{2}S_n + 3^{n+1}$を満たす。 (1) $n=1$および$n=2$を漸化式に代入することで、$a_2$および$a_3$の値を求める。 (2) 数列$\{b_n\}$を$b_n = \frac{S_n}{3^n}$と定める。$b_1$の値を求め、漸化式から$b_n$と$b_{n+1}$の関係式を求め、さらにその関係式を変形する。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項は2であり、初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。数列$\{S_n\}$は漸化式$S_{n+1} = \frac{1}{2}S_n + 3^{n+1}$を満たす。

(1) $n=1$および$n=2$を漸化式に代入することで、$a_2$および$a_3$の値を求める。

(2) 数列$\{b_n\}$を$b_n = \frac{S_n}{3^n}$と定める。$b_1$の値を求め、漸化式から$b_n$と$b_{n+1}$の関係式を求め、さらにその関係式を変形する。

2. 解き方の手順

(1)

$n=1$を$S_{n+1} = \frac{1}{2}S_n + 3^{n+1}$に代入すると、

$S_2 = \frac{1}{2}S_1 + 3^2 = \frac{1}{2}(2) + 9 = 1 + 9 = 10$。

$a_2 = S_2 - S_1 = 10 - 2 = 8$。よって、$a_2 = 8$。

$n=2$を$S_{n+1} = \frac{1}{2}S_n + 3^{n+1}$に代入すると、

$S_3 = \frac{1}{2}S_2 + 3^3 = \frac{1}{2}(10) + 27 = 5 + 27 = 32$。

$a_3 = S_3 - S_2 = 32 - 10 = 22$。よって、$a_3 = 22$。

(2)

$b_n = \frac{S_n}{3^n}$なので、$b_1 = \frac{S_1}{3^1} = \frac{2}{3}$。

$S_{n+1} = \frac{1}{2}S_n + 3^{n+1}$の両辺を$3^{n+1}$で割ると、

$\frac{S_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S_n}{3^{n+1}} + 1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{S_n}{3^n} \cdot \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{6} \cdot \frac{S_n}{3^n} + 1$。

よって、$b_{n+1} = \frac{1}{6} b_n + 1$。

$b_{n+1} - \alpha = \frac{1}{6}(b_n - \alpha)$の形に変形する。

$b_{n+1} = \frac{1}{6} b_n + 1$より、

$b_{n+1} - \alpha = \frac{1}{6}b_n - \frac{1}{6}\alpha$

$b_{n+1} = \frac{1}{6}b_n - \frac{1}{6}\alpha + \alpha = \frac{1}{6}b_n + \frac{5}{6}\alpha$

$\frac{5}{6}\alpha = 1$より、$\alpha = \frac{6}{5}$。

よって、$b_{n+1} - \frac{6}{5} = \frac{1}{6}(b_n - \frac{6}{5})$。

3. 最終的な答え

ア: 8

イウ: 22

エ: 2

オ: 3

カ: 6

キ: 1

ク: 6

ケ: 5