画像に写っている問題は2つあります。 問題4：次の方程式を満たす点全体は、どのような図形か。 (1) $|z-(3-i)| = 1$ (2) $|z+2| = |z-i|$ 問題5：異なる3点 A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$) が条件 $\alpha + i\beta = (1+i)\gamma$ を満たすとき、次のものを求めよ。 (1) 複素数 $\frac{\alpha - \gamma}{\beta - \gamma}$ の値 (2) $\triangle ABC$ の3つの角の大きさ

はい、数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

画像に写っている問題は2つあります。

問題4：次の方程式を満たす点全体は、どのような図形か。

(1) $|z-(3-i)| = 1$

(2) $|z+2| = |z-i|$

問題5：異なる3点 A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$) が条件 $\alpha + i\beta = (1+i)\gamma$ を満たすとき、次のものを求めよ。

(1) 複素数 $\frac{\alpha - \gamma}{\beta - \gamma}$ の値

(2) $\triangle ABC$ の3つの角の大きさ

2. 解き方の手順

問題4

(1) $|z-(3-i)| = 1$ は、複素数平面上で点 $3-i$ からの距離が1である点の集合を表します。これは、点 $3-i$ を中心とする半径1の円です。

(2) $|z+2| = |z-i|$ は、複素数平面上で点 $-2$ と点 $i$ からの距離が等しい点の集合を表します。これは、点 $-2$ と点 $i$ を結ぶ線分の垂直二等分線です。

問題5

(1) $\alpha + i\beta = (1+i)\gamma$ より、$\alpha - \gamma = i(\gamma - \beta)$. したがって、$\frac{\alpha - \gamma}{\beta - \gamma} = \frac{i(\gamma - \beta)}{\beta - \gamma} = -i$.

(2) $\frac{\alpha - \gamma}{\beta - \gamma} = -i$ より、$\arg\left(\frac{\alpha - \gamma}{\beta - \gamma}\right) = \arg(-i) = -\frac{\pi}{2}$. これは、$\angle ACB = \frac{\pi}{2}$ であることを意味します。

また、$|\frac{\alpha - \gamma}{\beta - \gamma}| = |-i| = 1$ より、$|\alpha - \gamma| = |\beta - \gamma|$. これは、$AC = BC$ であることを意味します。

したがって、$\triangle ABC$ は直角二等辺三角形なので、$\angle A = \angle B = \frac{\pi}{4}$.

3. 最終的な答え

問題4

(1) 点 $3-i$ を中心とする半径1の円

(2) 2点 $-2$、$i$ を結ぶ線分の垂直二等分線

問題5

(1) $-i$

(2) $\angle A = \frac{\pi}{4}$, $\angle B = \frac{\pi}{4}$, $\angle C = \frac{\pi}{2}$