(1) $(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))^7$ を計算する。 (2) $(\frac{1+4i}{3-5i})^{-3}$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) $(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))^7$ を計算する。

(2) $(\frac{1+4i}{3-5i})^{-3}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) ド・モアブルの定理を用いる。ド・モアブルの定理とは $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ である。

$(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))^7 = \cos(\frac{7\pi}{6}) + i\sin(\frac{7\pi}{6})$

$\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$ であるから、

$\cos(\frac{7\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\cos(\frac{7\pi}{6}) + i\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

(2) まず、$\frac{1+4i}{3-5i}$ を計算する。

$\frac{1+4i}{3-5i} = \frac{(1+4i)(3+5i)}{(3-5i)(3+5i)} = \frac{3+5i+12i+20i^2}{9-25i^2} = \frac{3+17i-20}{9+25} = \frac{-17+17i}{34} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$

よって、

$(\frac{1+4i}{3-5i})^{-3} = (-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i)^{-3} = (\frac{-1+i}{2})^{-3} = (\frac{1}{2})^{-3} (-1+i)^{-3} = 8(-1+i)^{-3}$

$(-1+i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$

$(-1+i)^3 = (-1+i)^2 (-1+i) = -2i(-1+i) = 2i - 2i^2 = 2i + 2 = 2+2i$

したがって、

$8(-1+i)^{-3} = 8 \cdot \frac{1}{2+2i} = 8 \cdot \frac{1}{2(1+i)} = 4 \cdot \frac{1}{1+i} = 4 \cdot \frac{1-i}{(1+i)(1-i)} = 4 \cdot \frac{1-i}{1-i^2} = 4 \cdot \frac{1-i}{1-(-1)} = 4 \cdot \frac{1-i}{2} = 2(1-i) = 2-2i$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

(2) $2-2i$