与えられた画像には複数の数学の問題が含まれています。ここでは、問題6と問題8の(1)を解きます。 * 問題6：複素数 $\alpha$ について、$|\alpha|=1$ のとき、$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ は実数であることを証明する。 * 問題8 (1): $\alpha = \cos(\frac{\pi}{8}) + i\sin(\frac{\pi}{8})$ のとき、$\alpha^{15} + \alpha^{14} + \dots + \alpha^1 + \alpha$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた画像には複数の数学の問題が含まれています。ここでは、問題6と問題8の(1)を解きます。

* 問題6：複素数 $\alpha$ について、$|\alpha|=1$ のとき、$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ は実数であることを証明する。

* 問題8 (1): $\alpha = \cos(\frac{\pi}{8}) + i\sin(\frac{\pi}{8})$ のとき、$\alpha^{15} + \alpha^{14} + \dots + \alpha^1 + \alpha$ の値を求める。

2. 解き方の手順

* 問題6：

1. $|\alpha| = 1$ より、$\alpha \overline{\alpha} = 1$ が成り立つ。

2. したがって、$\overline{\alpha} = \frac{1}{\alpha}$ である。

3. $\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ の共役複素数を考えると、$\overline{\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}} = \overline{\alpha^2} + \overline{\frac{1}{\alpha^2}}$ となる。

4. さらに、$\overline{\alpha^2} + \overline{\frac{1}{\alpha^2}} = (\overline{\alpha})^2 + \frac{1}{(\overline{\alpha})^2} = (\frac{1}{\alpha})^2 + \frac{1}{(\frac{1}{\alpha})^2} = \frac{1}{\alpha^2} + \alpha^2$ となる。

5. よって、$\overline{\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}} = \alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ が成り立つため、$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ は実数である。

* 問題8 (1)：

1. $\alpha = \cos(\frac{\pi}{8}) + i\sin(\frac{\pi}{8})$ より、$\alpha$ は1の16乗根である。つまり、$\alpha^{16} = 1$ が成り立つ。

2. $\alpha^{15} + \alpha^{14} + \dots + \alpha^1 + \alpha$ は等比数列の和である。

3. 等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ より、$S_{15} = \frac{\alpha(1 - \alpha^{15})}{1 - \alpha}$ となる。

4. $\alpha^{16} = 1$ なので、$\alpha^{15} = \frac{1}{\alpha}$であるから $\alpha^{15} + 1 = 0$ではない。

$\alpha \neq 1$ なので $\alpha^{16}-1 = (\alpha -1)(\alpha^{15} + \alpha^{14} + \dots + \alpha + 1) = 0$

$\alpha \neq 1$ より $\alpha^{15} + \alpha^{14} + \dots + \alpha + 1 = 0$

したがって $\alpha^{15} + \alpha^{14} + \dots + \alpha = -1$

3. 最終的な答え

* 問題6：$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ は実数である。 (証明済み)

* 問題8 (1)：$\alpha^{15} + \alpha^{14} + \dots + \alpha^1 + \alpha = -1$