数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2, a_2 = 5, a_3 = 11$ を満たすとき、その階差数列が等比数列であるとして、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2, a_2 = 5, a_3 = 11$ を満たすとき、その階差数列が等比数列であるとして、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

階差数列を $\{b_n\}$ とすると、

$b_1 = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$

$b_2 = a_3 - a_2 = 11 - 5 = 6$

階差数列 $\{b_n\}$ は等比数列なので、公比 $r$ は $r = b_2 / b_1 = 6 / 3 = 2$ となる。

したがって、$b_n = b_1 r^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-1}$ である。

数列 $\{a_n\}$ の一般項は、$n \geq 2$ のとき

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ で表される。

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 3 \cdot 2^{k-1} = 2 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$

等比数列の和の公式を用いて、$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = \frac{1(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$

したがって、

$a_n = 2 + 3 (2^{n-1} - 1) = 2 + 3 \cdot 2^{n-1} - 3 = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 3 \cdot 2^{1-1} - 1 = 3 \cdot 2^0 - 1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2$ となり、与えられた条件と一致する。

よって、$n \geq 1$ に対して $a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$