2重積分 $\iint_{D_2} 2\log(1+x^2+y^2) dxdy$ の値を求めよ。ただし、$D_2 = \{(x, y) \mid 0 \le x^2+y^2 \le 1\}$ である。

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_{D_2} 2\log(1+x^2+y^2) dxdy$ の値を求めよ。ただし、$D_2 = \{(x, y) \mid 0 \le x^2+y^2 \le 1\}$ である。

2. 解き方の手順

極座標変換を行う。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とすると、$x^2+y^2=r^2$ となる。

また、$dxdy = rdrd\theta$ である。

積分領域は $0 \le x^2+y^2 \le 1$ より $0 \le r^2 \le 1$ となり、$0 \le r \le 1$ である。$\theta$ は $0 \le \theta \le 2\pi$ である。

したがって、積分は次のようになる。

$\iint_{D_2} 2\log(1+x^2+y^2) dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 2\log(1+r^2) r dr d\theta$

まず、内側の積分を計算する。

$I = \int_0^1 2\log(1+r^2) r dr$

$u = 1+r^2$ と置換すると、$du = 2r dr$ であり、$rdr = \frac{1}{2}du$ となる。

$r=0$ のとき $u=1$, $r=1$ のとき $u=2$ である。

$I = \int_1^2 \log(u) du$

部分積分を行う。$\int \log(u) du = u\log(u) - \int u \cdot \frac{1}{u} du = u\log(u) - u + C$

$I = [u\log(u) - u]_1^2 = (2\log(2) - 2) - (1\log(1) - 1) = 2\log(2) - 2 - (0 - 1) = 2\log(2) - 1$

次に外側の積分を計算する。

$\int_0^{2\pi} (2\log(2) - 1) d\theta = (2\log(2) - 1) \int_0^{2\pi} d\theta = (2\log(2) - 1) [\theta]_0^{2\pi} = (2\log(2) - 1) (2\pi - 0) = 2\pi (2\log(2) - 1)$

$= 4\pi \log(2) - 2\pi$

3. 最終的な答え

$4\pi \log(2) - 2\pi$