与えられた積分を計算します。 (1) $\int x \sin 3x \, dx$ (2) $\int \arctan x \, dx$ (3) $\int x \log x \, dx$ (4) $\int e^x \sin 2x \, dx$ (5) $\int \sqrt{1-x^2} \, dx$

解析学積分部分積分置換積分三角関数
2025/7/12
はい、承知いたしました。画像にある積分問題のうち、問題(1)から(5)までを解きます。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。
(1) xsin3xdx\int x \sin 3x \, dx
(2) arctanxdx\int \arctan x \, dx
(3) xlogxdx\int x \log x \, dx
(4) exsin2xdx\int e^x \sin 2x \, dx
(5) 1x2dx\int \sqrt{1-x^2} \, dx

2. 解き方の手順

(1) xsin3xdx\int x \sin 3x \, dx (部分積分)
u=xu = x, dv=sin3xdxdv = \sin 3x \, dx とすると、du=dxdu = dx, v=13cos3xv = -\frac{1}{3} \cos 3x
udv=uvvdu\int u \, dv = uv - \int v \, du より
xsin3xdx=x(13cos3x)13cos3xdx\int x \sin 3x \, dx = x \left(-\frac{1}{3} \cos 3x\right) - \int -\frac{1}{3} \cos 3x \, dx
=13xcos3x+13cos3xdx= -\frac{1}{3}x \cos 3x + \frac{1}{3} \int \cos 3x \, dx
=13xcos3x+1313sin3x+C= -\frac{1}{3}x \cos 3x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \sin 3x + C
=13xcos3x+19sin3x+C= -\frac{1}{3}x \cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x + C
(2) arctanxdx\int \arctan x \, dx (部分積分)
u=arctanxu = \arctan x, dv=dxdv = dx とすると、du=11+x2dxdu = \frac{1}{1+x^2} dx, v=xv = x
arctanxdx=xarctanxx1+x2dx\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} dx
ここで x1+x2dx\int \frac{x}{1+x^2} dx を計算するために、t=1+x2t = 1+x^2 とおくと、dt=2xdxdt = 2x \, dx
よって x1+x2dx=121tdt=12logt+C=12log(1+x2)+C\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \log |t| + C = \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C
したがって、
arctanxdx=xarctanx12log(1+x2)+C\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C
(3) xlogxdx\int x \log x \, dx (部分積分)
u=logxu = \log x, dv=xdxdv = x \, dx とすると、du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx, v=12x2v = \frac{1}{2}x^2
xlogxdx=12x2logx12x21xdx\int x \log x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \log x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} dx
=12x2logx12xdx= \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{2} \int x \, dx
=12x2logx1212x2+C= \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}x^2 + C
=12x2logx14x2+C= \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{4}x^2 + C
(4) exsin2xdx\int e^x \sin 2x \, dx (部分積分を2回行う)
I=exsin2xdxI = \int e^x \sin 2x \, dx
u=sin2xu = \sin 2x, dv=exdxdv = e^x \, dx とすると、du=2cos2xdxdu = 2\cos 2x \, dx, v=exv = e^x
I=exsin2xex(2cos2x)dx=exsin2x2excos2xdxI = e^x \sin 2x - \int e^x (2\cos 2x) dx = e^x \sin 2x - 2 \int e^x \cos 2x \, dx
次に、J=excos2xdxJ = \int e^x \cos 2x \, dx を計算する。
u=cos2xu = \cos 2x, dv=exdxdv = e^x \, dx とすると、du=2sin2xdxdu = -2\sin 2x \, dx, v=exv = e^x
J=excos2xex(2sin2x)dx=excos2x+2exsin2xdx=excos2x+2IJ = e^x \cos 2x - \int e^x (-2\sin 2x) dx = e^x \cos 2x + 2 \int e^x \sin 2x \, dx = e^x \cos 2x + 2I
I=exsin2x2(excos2x+2I)=exsin2x2excos2x4II = e^x \sin 2x - 2(e^x \cos 2x + 2I) = e^x \sin 2x - 2e^x \cos 2x - 4I
5I=exsin2x2excos2x5I = e^x \sin 2x - 2e^x \cos 2x
I=15ex(sin2x2cos2x)+CI = \frac{1}{5}e^x (\sin 2x - 2\cos 2x) + C
(5) 1x2dx\int \sqrt{1-x^2} \, dx (三角関数による置換積分)
x=sinθx = \sin \theta とすると、dx=cosθdθdx = \cos \theta \, d\theta
1x2dx=1sin2θcosθdθ=cos2θdθ\int \sqrt{1-x^2} \, dx = \int \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cos \theta \, d\theta = \int \cos^2 \theta \, d\theta
cos2θ=1+cos2θ2\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2} より
cos2θdθ=1+cos2θ2dθ=12θ+14sin2θ+C=12θ+12sinθcosθ+C\int \cos^2 \theta \, d\theta = \int \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{4} \sin 2\theta + C = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{2} \sin \theta \cos \theta + C
sinθ=x\sin \theta = x より、θ=arcsinx\theta = \arcsin x。また cosθ=1sin2θ=1x2\cos \theta = \sqrt{1-\sin^2 \theta} = \sqrt{1-x^2}
1x2dx=12arcsinx+12x1x2+C\int \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + C

3. 最終的な答え

(1) xsin3xdx=13xcos3x+19sin3x+C\int x \sin 3x \, dx = -\frac{1}{3}x \cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x + C
(2) arctanxdx=xarctanx12log(1+x2)+C\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C
(3) xlogxdx=12x2logx14x2+C\int x \log x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{4}x^2 + C
(4) exsin2xdx=15ex(sin2x2cos2x)+C\int e^x \sin 2x \, dx = \frac{1}{5}e^x (\sin 2x - 2\cos 2x) + C
(5) 1x2dx=12arcsinx+12x1x2+C\int \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + C

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