与えられた積分を計算します。 (1) $\int x \sin 3x \, dx$ (2) $\int \arctan x \, dx$ (3) $\int x \log x \, dx$ (4) $\int e^x \sin 2x \, dx$ (5) $\int \sqrt{1-x^2} \, dx$
2025/7/12
はい、承知いたしました。画像にある積分問題のうち、問題(1)から(5)までを解きます。
1. 問題の内容
与えられた積分を計算します。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2. 解き方の手順
(1) (部分積分)
, とすると、, 。
より
(2) (部分積分)
, とすると、, 。
ここで を計算するために、 とおくと、。
よって
したがって、
(3) (部分積分)
, とすると、, 。
(4) (部分積分を2回行う)
, とすると、, 。
次に、 を計算する。
, とすると、, 。
(5) (三角関数による置換積分)
とすると、。
より
より、。また 。
3. 最終的な答え
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)