与えられた10個の積分問題を解く。

1. 問題の内容

与えられた10個の積分問題を解く。

2. 解き方の手順

個々の積分について、それぞれ以下の手順で解きます。

(1) $\int x \sin 3x \, dx$

部分積分を用いる。$u = x$, $dv = \sin 3x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{3} \cos 3x$。

$\int x \sin 3x \, dx = -\frac{1}{3} x \cos 3x - \int (-\frac{1}{3} \cos 3x) \, dx = -\frac{1}{3} x \cos 3x + \frac{1}{3} \int \cos 3x \, dx = -\frac{1}{3} x \cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x + C$.

(2) $\int \arctan x \, dx$

部分積分を用いる。$u = \arctan x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$, $v = x$。

$\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$.

(3) $\int x \ln x \, dx$

部分積分を用いる。$u = \ln x$, $dv = x \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{1}{2} x^2$。

$\int x \ln x \, dx = \frac{1}{2} x^2 \ln x - \int \frac{1}{2} x^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2} x^2 \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{1}{2} x^2 \ln x - \frac{1}{4} x^2 + C$.

(4) $\int e^x \sin 2x \, dx$

部分積分を2回用いる。$I = \int e^x \sin 2x \, dx$ とする。

$u = \sin 2x$, $dv = e^x \, dx$ とすると、$du = 2 \cos 2x \, dx$, $v = e^x$。

$I = e^x \sin 2x - \int 2 e^x \cos 2x \, dx$.

次に、$J = \int e^x \cos 2x \, dx$ を計算する。$u = \cos 2x$, $dv = e^x \, dx$ とすると、$du = -2 \sin 2x \, dx$, $v = e^x$。

$J = e^x \cos 2x - \int e^x (-2 \sin 2x) \, dx = e^x \cos 2x + 2 \int e^x \sin 2x \, dx = e^x \cos 2x + 2I$.

$I = e^x \sin 2x - 2(e^x \cos 2x + 2I) = e^x \sin 2x - 2 e^x \cos 2x - 4I$.

$5I = e^x (\sin 2x - 2 \cos 2x)$, $I = \frac{1}{5} e^x (\sin 2x - 2 \cos 2x) + C$.

(5) $\int \sqrt{1-x^2} \, dx$

三角関数置換を用いる。$x = \sin \theta$ とすると、$dx = \cos \theta \, d\theta$, $\sqrt{1-x^2} = \cos \theta$。

$\int \sqrt{1-x^2} \, dx = \int \cos^2 \theta \, d\theta = \int \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{4} \sin 2\theta + C = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{2} \sin \theta \cos \theta + C$.

$\theta = \arcsin x$, $\sin \theta = x$, $\cos \theta = \sqrt{1-x^2}$。

$\int \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + C$.

(6) $\int \frac{1}{x^2-3x-10} \, dx = \int \frac{1}{(x-5)(x+2)} \, dx$.

部分分数分解を行う。$\frac{1}{(x-5)(x+2)} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+2}$。

$1 = A(x+2) + B(x-5)$.

$x = 5$ のとき $1 = 7A$, $A = \frac{1}{7}$.

$x = -2$ のとき $1 = -7B$, $B = -\frac{1}{7}$.

$\int \frac{1}{x^2-3x-10} \, dx = \frac{1}{7} \int (\frac{1}{x-5} - \frac{1}{x+2}) \, dx = \frac{1}{7} (\ln |x-5| - \ln |x+2|) + C = \frac{1}{7} \ln |\frac{x-5}{x+2}| + C$.

(7) $\int \frac{1}{x^2-3x+4} \, dx$.

$x^2 - 3x + 4 = (x-\frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$.

$\int \frac{1}{x^2-3x+4} \, dx = \int \frac{1}{(x-\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{7}}{2})^2} \, dx = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan (\frac{2x-3}{\sqrt{7}}) + C$.

(8) $\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} \, dx = \int \frac{1}{x(x^2 - 4x + 5)} \, dx = \int \frac{1}{x((x-2)^2 + 1)} \, dx$.

部分分数分解を行う。$\frac{1}{x(x^2-4x+5)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2-4x+5}$.

$1 = A(x^2-4x+5) + (Bx+C)x = (A+B)x^2 + (-4A+C)x + 5A$.

$5A = 1$, $A = \frac{1}{5}$.

$-4A+C = 0$, $C = \frac{4}{5}$.

$A+B = 0$, $B = -\frac{1}{5}$.

$\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} \, dx = \frac{1}{5} \int (\frac{1}{x} + \frac{-x+4}{x^2-4x+5}) \, dx = \frac{1}{5} \int (\frac{1}{x} - \frac{x-2}{(x-2)^2+1} + \frac{2}{(x-2)^2+1}) \, dx$.

$= \frac{1}{5} (\ln |x| - \frac{1}{2} \ln (x^2-4x+5) + 2 \arctan (x-2)) + C$.

(9) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx = \int \csc x \, dx = \ln |\csc x - \cot x| + C$.

(10) $\int \sqrt{1+x^2} \, dx$

三角関数置換を用いる。$x = \sinh t$ とすると、$dx = \cosh t \, dt$, $\sqrt{1+x^2} = \cosh t$.

$\int \sqrt{1+x^2} \, dx = \int \cosh^2 t \, dt = \int \frac{1+\cosh 2t}{2} \, dt = \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \sinh 2t + C = \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} \sinh t \cosh t + C$.

$t = \sinh^{-1} x$, $\sinh t = x$, $\cosh t = \sqrt{1+x^2}$.

$\int \sqrt{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \sinh^{-1} x + \frac{1}{2} x \sqrt{1+x^2} + C$.

$\sinh^{-1} x = \ln(x + \sqrt{1+x^2})$.

$\int \sqrt{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + \frac{1}{2} x \sqrt{1+x^2} + C$.

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{3} x \cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x + C$

(2) $x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$

(3) $\frac{1}{2} x^2 \ln x - \frac{1}{4} x^2 + C$

(4) $\frac{1}{5} e^x (\sin 2x - 2 \cos 2x) + C$

(5) $\frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + C$

(6) $\frac{1}{7} \ln |\frac{x-5}{x+2}| + C$

(7) $\frac{2}{\sqrt{7}} \arctan (\frac{2x-3}{\sqrt{7}}) + C$

(8) $\frac{1}{5} (\ln |x| - \frac{1}{2} \ln (x^2-4x+5) + 2 \arctan (x-2)) + C$

(9) $\ln |\csc x - \cot x| + C$

(10) $\frac{1}{2} \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + \frac{1}{2} x \sqrt{1+x^2} + C$