## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた10個の積分を計算します。

(1) $\int x \sin 3x \, dx$

(2) $\int \arctan x \, dx$

(3) $\int x \log x \, dx$

(4) $\int e^x \sin 2x \, dx$

(5) $\int \sqrt{1-x^2} \, dx$

(6) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx$

(7) $\int \frac{1}{x^2 - 3x + 4} \, dx$

(8) $\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} \, dx$

(9) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx$

(10) $\int \sqrt{1+x^2} \, dx$

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2. 解き方の手順

**(1) $\int x \sin 3x \, dx$**

部分積分を用います。$u = x$, $dv = \sin 3x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{3} \cos 3x$ となります。

$\int x \sin 3x \, dx = -\frac{1}{3} x \cos 3x - \int -\frac{1}{3} \cos 3x \, dx = -\frac{1}{3} x \cos 3x + \frac{1}{3} \int \cos 3x \, dx$

$\int \cos 3x \, dx = \frac{1}{3} \sin 3x + C$

したがって、$\int x \sin 3x \, dx = -\frac{1}{3} x \cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x + C$

**(2) $\int \arctan x \, dx$**

部分積分を用います。$u = \arctan x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = x$ となります。

$\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx$

$\int \frac{x}{1+x^2} \, dx$ を計算します。$u = 1+x^2$ とすると、$du = 2x \, dx$ なので、$x \, dx = \frac{1}{2} du$ です。

$\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \log |u| + C = \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C$

したがって、$\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C$

**(3) $\int x \log x \, dx$**

部分積分を用います。$u = \log x$, $dv = x \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{2} x^2$ となります。

$\int x \log x \, dx = \frac{1}{2} x^2 \log x - \int \frac{1}{2} x^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2} x^2 \log x - \frac{1}{2} \int x \, dx$

$\int x \, dx = \frac{1}{2} x^2 + C$

したがって、$\int x \log x \, dx = \frac{1}{2} x^2 \log x - \frac{1}{4} x^2 + C$

**(4) $\int e^x \sin 2x \, dx$**

部分積分を2回用います。

1回目: $u = \sin 2x$, $dv = e^x \, dx$ とすると、$du = 2 \cos 2x \, dx$, $v = e^x$ となります。

$\int e^x \sin 2x \, dx = e^x \sin 2x - \int 2 e^x \cos 2x \, dx$

2回目: $\int e^x \cos 2x \, dx$ を計算します。$u = \cos 2x$, $dv = e^x \, dx$ とすると、$du = -2 \sin 2x \, dx$, $v = e^x$ となります。

$\int e^x \cos 2x \, dx = e^x \cos 2x - \int -2 e^x \sin 2x \, dx = e^x \cos 2x + 2 \int e^x \sin 2x \, dx$

したがって、

$\int e^x \sin 2x \, dx = e^x \sin 2x - 2(e^x \cos 2x + 2 \int e^x \sin 2x \, dx) = e^x \sin 2x - 2e^x \cos 2x - 4 \int e^x \sin 2x \, dx$

$5 \int e^x \sin 2x \, dx = e^x \sin 2x - 2e^x \cos 2x + C$

$\int e^x \sin 2x \, dx = \frac{1}{5} e^x (\sin 2x - 2 \cos 2x) + C$

**(5) $\int \sqrt{1-x^2} \, dx$**

三角関数置換を用います。$x = \sin \theta$ とすると、$dx = \cos \theta \, d\theta$, $\sqrt{1-x^2} = \cos \theta$ となります。

$\int \sqrt{1-x^2} \, dx = \int \cos \theta \cdot \cos \theta \, d\theta = \int \cos^2 \theta \, d\theta = \int \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{4} \sin 2\theta + C$

$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2x \sqrt{1-x^2}$ なので、

$\int \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + C$

**(6) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx$**

部分分数分解を用います。$x^2 - 3x - 10 = (x-5)(x+2)$ なので、$\frac{1}{x^2 - 3x - 10} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+2}$ とおきます。

$1 = A(x+2) + B(x-5)$

$x = 5$ のとき、$1 = 7A$ より、$A = \frac{1}{7}$

$x = -2$ のとき、$1 = -7B$ より、$B = -\frac{1}{7}$

したがって、$\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx = \frac{1}{7} \int \frac{1}{x-5} \, dx - \frac{1}{7} \int \frac{1}{x+2} \, dx = \frac{1}{7} \log |x-5| - \frac{1}{7} \log |x+2| + C = \frac{1}{7} \log \left|\frac{x-5}{x+2}\right| + C$

**(7) $\int \frac{1}{x^2 - 3x + 4} \, dx$**

平方完成します。$x^2 - 3x + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$

$u = x - \frac{3}{2}$ とすると、$du = dx$

$\int \frac{1}{x^2 - 3x + 4} \, dx = \int \frac{1}{u^2 + \frac{7}{4}} \, du = \frac{4}{7} \int \frac{1}{\frac{4}{7} u^2 + 1} \, du$

$v = \frac{2}{\sqrt{7}} u$ とすると、$dv = \frac{2}{\sqrt{7}} du$, $du = \frac{\sqrt{7}}{2} dv$

$\frac{4}{7} \int \frac{1}{\frac{4}{7} u^2 + 1} \, du = \frac{4}{7} \int \frac{1}{v^2 + 1} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} dv = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan v + C = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \left(\frac{2}{\sqrt{7}} (x - \frac{3}{2})\right) + C = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \left(\frac{2x-3}{\sqrt{7}}\right) + C$

**(8) $\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} \, dx$**

$\int \frac{1}{x(x^2-4x+5)} dx$ を計算します。

$\frac{1}{x(x^2-4x+5)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2-4x+5}$

$1 = A(x^2-4x+5) + (Bx+C)x = (A+B)x^2 + (-4A+C)x + 5A$

$A+B=0, -4A+C=0, 5A=1$.

$A = \frac{1}{5}, B = -\frac{1}{5}, C = \frac{4}{5}$

$\int \frac{1}{x(x^2-4x+5)} dx = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{-\frac{1}{5}x + \frac{4}{5}}{x^2-4x+5} dx$

$= \frac{1}{5} \ln |x| - \frac{1}{5} \int \frac{x-4}{x^2-4x+5} dx$

$u = x^2-4x+5, du = (2x-4)dx, (x-4)dx = \frac{1}{2}(2x-8) dx = \frac{1}{2}du -2 dx$

$= \frac{1}{5} \ln |x| - \frac{1}{5} [\frac{1}{2} \ln|x^2-4x+5| - \int \frac{2}{x^2-4x+5} dx ]$

$= \frac{1}{5} \ln |x| - \frac{1}{10} \ln|x^2-4x+5| + \frac{2}{5} \int \frac{1}{(x-2)^2+1} dx$

$= \frac{1}{5} \ln |x| - \frac{1}{10} \ln|x^2-4x+5| + \frac{2}{5} \arctan(x-2) + C$

**(9) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx$**

$\int \frac{1}{\sin x} dx = \int \csc x dx$

$\int \csc x dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$

または

$= \ln|\tan \frac{x}{2}| + C$

**(10) $\int \sqrt{1+x^2} \, dx$**

双曲線関数置換を用いる。$x = \sinh t$ とすると、$dx = \cosh t \, dt$, $\sqrt{1+x^2} = \cosh t$ となります。

$\int \sqrt{1+x^2} \, dx = \int \cosh^2 t \, dt = \int \frac{1 + \cosh 2t}{2} \, dt = \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \sinh 2t + C$

$\sinh 2t = 2 \sinh t \cosh t = 2x \sqrt{1+x^2}$ なので、

$\int \sqrt{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \operatorname{arcsinh} x + \frac{1}{2} x \sqrt{1+x^2} + C = \frac{1}{2} \ln (x + \sqrt{1+x^2}) + \frac{1}{2} x \sqrt{1+x^2} + C$

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3. 最終的な答え

(1) $\int x \sin 3x \, dx = -\frac{1}{3} x \cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x + C$

(2) $\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C$

(3) $\int x \log x \, dx = \frac{1}{2} x^2 \log x - \frac{1}{4} x^2 + C$

(4) $\int e^x \sin 2x \, dx = \frac{1}{5} e^x (\sin 2x - 2 \cos 2x) + C$

(5) $\int \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + C$

(6) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx = \frac{1}{7} \log \left|\frac{x-5}{x+2}\right| + C$

(7) $\int \frac{1}{x^2 - 3x + 4} \, dx = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \left(\frac{2x-3}{\sqrt{7}}\right) + C$

(8) $\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} \, dx = \frac{1}{5} \ln |x| - \frac{1}{10} \ln|x^2-4x+5| + \frac{2}{5} \arctan(x-2) + C$

(9) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx = \ln|\csc x - \cot x| + C = \ln|\tan \frac{x}{2}| + C$

(10) $\int \sqrt{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln (x + \sqrt{1+x^2}) + \frac{1}{2} x \sqrt{1+x^2} + C$