与えられた10個の積分問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた10個の積分問題を解きます。

2. 解き方の手順

(1) $\int x \sin(3x) dx$

部分積分を行います。$u = x$, $dv = \sin(3x) dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{3}\cos(3x)$ となります。

$$\int x \sin(3x) dx = -\frac{1}{3}x\cos(3x) - \int -\frac{1}{3}\cos(3x) dx = -\frac{1}{3}x\cos(3x) + \frac{1}{3} \int \cos(3x) dx$$

$$= -\frac{1}{3}x\cos(3x) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \sin(3x) + C = -\frac{1}{3}x\cos(3x) + \frac{1}{9} \sin(3x) + C$$

(2) $\int \arctan(x) dx$

部分積分を行います。$u = \arctan(x)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = x$ となります。

$$\int \arctan(x) dx = x\arctan(x) - \int \frac{x}{1+x^2} dx$$

$\int \frac{x}{1+x^2} dx$ に対して、$t = 1+x^2$ と置換すると、$dt = 2x dx$ より、$x dx = \frac{1}{2} dt$ となります。

$$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \ln|t| + C = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$$

したがって、

$$\int \arctan(x) dx = x\arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$$

(3) $\int x \log(x) dx$

部分積分を行います。$u = \log(x)$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{2}x^2$ となります。

$$\int x \log(x) dx = \frac{1}{2}x^2 \log(x) - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{1}{2}x^2 \log(x) - \frac{1}{2} \int x dx$$

$$= \frac{1}{2}x^2 \log(x) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}x^2 + C = \frac{1}{2}x^2 \log(x) - \frac{1}{4}x^2 + C$$

(4) $\int e^x \sin(2x) dx$

部分積分を2回行います。

$u = \sin(2x)$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = 2\cos(2x) dx$, $v = e^x$ となります。

$$\int e^x \sin(2x) dx = e^x \sin(2x) - \int e^x (2\cos(2x)) dx = e^x \sin(2x) - 2 \int e^x \cos(2x) dx$$

次に、$u = \cos(2x)$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = -2\sin(2x) dx$, $v = e^x$ となります。

$$\int e^x \cos(2x) dx = e^x \cos(2x) - \int e^x (-2\sin(2x)) dx = e^x \cos(2x) + 2 \int e^x \sin(2x) dx$$

したがって、

$$\int e^x \sin(2x) dx = e^x \sin(2x) - 2 \left( e^x \cos(2x) + 2 \int e^x \sin(2x) dx \right)$$

$$\int e^x \sin(2x) dx = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) - 4 \int e^x \sin(2x) dx$$

$$5 \int e^x \sin(2x) dx = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) + C$$

$$\int e^x \sin(2x) dx = \frac{1}{5} e^x (\sin(2x) - 2\cos(2x)) + C$$

(5) $\int \sqrt{1-x^2} dx$

三角関数置換を行います。$x = \sin(\theta)$ とすると、$dx = \cos(\theta) d\theta$ となります。

$$\int \sqrt{1-x^2} dx = \int \sqrt{1-\sin^2(\theta)} \cos(\theta) d\theta = \int \cos(\theta) \cdot \cos(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta$$

$$\cos^2(\theta) = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$$

$$\int \cos^2(\theta) d\theta = \int \frac{1+\cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int (1+\cos(2\theta)) d\theta = \frac{1}{2} \left( \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right) + C$$

$$= \frac{1}{2} \left( \theta + \sin(\theta)\cos(\theta) \right) + C = \frac{1}{2} \arcsin(x) + \frac{1}{2} x\sqrt{1-x^2} + C$$

(6) $\int \frac{1}{x^2-3x-10} dx$

部分分数分解を行います。$x^2 - 3x - 10 = (x-5)(x+2)$

$$\frac{1}{(x-5)(x+2)} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+2}$$

$$1 = A(x+2) + B(x-5)$$

$x = 5$ のとき、$1 = 7A \implies A = \frac{1}{7}$

$x = -2$ のとき、$1 = -7B \implies B = -\frac{1}{7}$

$$\int \frac{1}{x^2-3x-10} dx = \int \left( \frac{1/7}{x-5} - \frac{1/7}{x+2} \right) dx = \frac{1}{7} \int \left( \frac{1}{x-5} - \frac{1}{x+2} \right) dx$$

$$= \frac{1}{7} (\ln|x-5| - \ln|x+2|) + C = \frac{1}{7} \ln \left| \frac{x-5}{x+2} \right| + C$$

(7) $\int \frac{1}{x^2-3x+4} dx$

分母を平方完成します。$x^2 - 3x + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$

$\int \frac{1}{x^2-3x+4} dx = \int \frac{1}{(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}} dx$

$x - \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{7}}{2} \tan \theta$ と置換すると、$dx = \frac{\sqrt{7}}{2} \sec^2 \theta d\theta$

$\int \frac{1}{(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}} dx = \int \frac{1}{\frac{7}{4} \tan^2 \theta + \frac{7}{4}} \frac{\sqrt{7}}{2} \sec^2 \theta d\theta = \int \frac{1}{\frac{7}{4} \sec^2 \theta} \frac{\sqrt{7}}{2} \sec^2 \theta d\theta$

$= \frac{\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{4}{7} \int d\theta = \frac{2}{\sqrt{7}} \theta + C = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}} \right) + C = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{2x-3}{\sqrt{7}} \right) + C$

(8) $\int \frac{1}{x^3-4x^2+5x} dx$

部分分数分解を行います。$x^3 - 4x^2 + 5x = x(x^2 - 4x + 5) = x((x-2)^2 + 1)$

$$\frac{1}{x(x^2 - 4x + 5)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2-4x+5}$$

$$1 = A(x^2 - 4x + 5) + (Bx+C)x = Ax^2 - 4Ax + 5A + Bx^2 + Cx$$

$$A+B = 0$$

$$-4A + C = 0$$

$$5A = 1$$

$A = \frac{1}{5}$, $B = -\frac{1}{5}$, $C = \frac{4}{5}$

$\int \frac{1}{x^3-4x^2+5x} dx = \int \left( \frac{1/5}{x} + \frac{-x/5 + 4/5}{x^2 - 4x + 5} \right) dx = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} dx + \frac{1}{5} \int \frac{-x + 4}{x^2 - 4x + 5} dx$

$= \frac{1}{5} \ln|x| - \frac{1}{10} \int \frac{2x-8}{x^2-4x+5} dx = \frac{1}{5} \ln|x| - \frac{1}{10} \int \frac{2x-4}{x^2-4x+5} dx - \frac{1}{10} \int \frac{-4}{x^2-4x+5} dx = \frac{1}{5} \ln|x| - \frac{1}{10} \ln|x^2-4x+5| + \frac{2}{5} \int \frac{1}{(x-2)^2+1} dx$

$= \frac{1}{5} \ln|x| - \frac{1}{10} \ln|x^2-4x+5| + \frac{2}{5} \arctan(x-2) + C$

(9) $\int \frac{1}{\sin x} dx$

$$\int \frac{1}{\sin x} dx = \int \csc x dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$$

(10) $\int \sqrt{1+x^2} dx$

三角関数置換を行います。$x = \sinh t$ とすると、$dx = \cosh t dt$.

$\int \sqrt{1+x^2} dx = \int \sqrt{1 + \sinh^2 t} \cosh t dt = \int \cosh^2 t dt = \int \frac{1 + \cosh 2t}{2} dt = \frac{t}{2} + \frac{\sinh 2t}{4} + C = \frac{t}{2} + \frac{2 \sinh t \cosh t}{4} + C = \frac{1}{2} \sinh^{-1} x + \frac{1}{2} x \sqrt{1+x^2} + C = \frac{1}{2} \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + \frac{1}{2} x \sqrt{1+x^2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{3}x\cos(3x) + \frac{1}{9} \sin(3x) + C$

(2) $x\arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$

(3) $\frac{1}{2}x^2 \log(x) - \frac{1}{4}x^2 + C$

(4) $\frac{1}{5} e^x (\sin(2x) - 2\cos(2x)) + C$

(5) $\frac{1}{2} \arcsin(x) + \frac{1}{2} x\sqrt{1-x^2} + C$

(6) $\frac{1}{7} \ln \left| \frac{x-5}{x+2} \right| + C$

(7) $\frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{2x-3}{\sqrt{7}} \right) + C$

(8) $\frac{1}{5} \ln|x| - \frac{1}{10} \ln(x^2-4x+5) + \frac{2}{5} \arctan(x-2) + C$

(9) $\ln|\csc x - \cot x| + C$

(10) $\frac{1}{2} \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + \frac{1}{2} x \sqrt{1+x^2} + C$