与えられた極限をマクローリン展開を用いて計算し、その値が2025であることを示す問題です。 極限は $\lim_{x \to 0} \frac{(1+2025x)\sin x - x \cos x}{x^2}$ です。解析学極限マクローリン展開三角関数2025/7/121. 問題の内容与えられた極限をマクローリン展開を用いて計算し、その値が2025であることを示す問題です。極限はlimx→0(1+2025x)sinx−xcosxx2\lim_{x \to 0} \frac{(1+2025x)\sin x - x \cos x}{x^2}limx→0x2(1+2025x)sinx−xcosxです。2. 解き方の手順sinx\sin xsinx と cosx\cos xcosx のマクローリン展開を利用します。sinx=x−x33!+x55!−⋯=x−x36+O(x5)\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)sinx=x−3!x3+5!x5−⋯=x−6x3+O(x5)cosx=1−x22!+x44!−⋯=1−x22+O(x4)\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)cosx=1−2!x2+4!x4−⋯=1−2x2+O(x4)これらを元の式に代入します。(1+2025x)sinx=(1+2025x)(x−x36+O(x5))=x−x36+2025x2−2025x46+O(x5)=x+2025x2−x36+O(x4)(1+2025x)\sin x = (1+2025x)(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) = x - \frac{x^3}{6} + 2025x^2 - \frac{2025x^4}{6} + O(x^5) = x + 2025x^2 - \frac{x^3}{6} + O(x^4)(1+2025x)sinx=(1+2025x)(x−6x3+O(x5))=x−6x3+2025x2−62025x4+O(x5)=x+2025x2−6x3+O(x4)xcosx=x(1−x22+O(x4))=x−x32+O(x5)x \cos x = x(1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)) = x - \frac{x^3}{2} + O(x^5)xcosx=x(1−2x2+O(x4))=x−2x3+O(x5)分子は(1+2025x)sinx−xcosx=(x+2025x2−x36+O(x4))−(x−x32+O(x5))=2025x2+(12−16)x3+O(x4)=2025x2+13x3+O(x4)(1+2025x)\sin x - x \cos x = (x + 2025x^2 - \frac{x^3}{6} + O(x^4)) - (x - \frac{x^3}{2} + O(x^5)) = 2025x^2 + (\frac{1}{2}-\frac{1}{6})x^3 + O(x^4) = 2025x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)(1+2025x)sinx−xcosx=(x+2025x2−6x3+O(x4))−(x−2x3+O(x5))=2025x2+(21−61)x3+O(x4)=2025x2+31x3+O(x4)したがって、(1+2025x)sinx−xcosxx2=2025x2+13x3+O(x4)x2=2025+13x+O(x2)\frac{(1+2025x)\sin x - x \cos x}{x^2} = \frac{2025x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)}{x^2} = 2025 + \frac{1}{3}x + O(x^2)x2(1+2025x)sinx−xcosx=x22025x2+31x3+O(x4)=2025+31x+O(x2)極限を取ると、limx→0(1+2025x)sinx−xcosxx2=limx→0(2025+13x+O(x2))=2025\lim_{x \to 0} \frac{(1+2025x)\sin x - x \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} (2025 + \frac{1}{3}x + O(x^2)) = 2025limx→0x2(1+2025x)sinx−xcosx=limx→0(2025+31x+O(x2))=20253. 最終的な答えlimx→0(1+2025x)sinx−xcosxx2=2025\lim_{x \to 0} \frac{(1+2025x)\sin x - x \cos x}{x^2} = 2025limx→0x2(1+2025x)sinx−xcosx=2025