与えられた極限をマクローリン展開を用いて計算し、その値が2025であることを示す問題です。 極限は $\lim_{x \to 0} \frac{(1+2025x)\sin x - x \cos x}{x^2}$ です。

解析学極限マクローリン展開三角関数
2025/7/12

1. 問題の内容

与えられた極限をマクローリン展開を用いて計算し、その値が2025であることを示す問題です。
極限は
limx0(1+2025x)sinxxcosxx2\lim_{x \to 0} \frac{(1+2025x)\sin x - x \cos x}{x^2}
です。

2. 解き方の手順

sinx\sin xcosx\cos x のマクローリン展開を利用します。
sinx=xx33!+x55!=xx36+O(x5)\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)
cosx=1x22!+x44!=1x22+O(x4)\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)
これらを元の式に代入します。
(1+2025x)sinx=(1+2025x)(xx36+O(x5))=xx36+2025x22025x46+O(x5)=x+2025x2x36+O(x4)(1+2025x)\sin x = (1+2025x)(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) = x - \frac{x^3}{6} + 2025x^2 - \frac{2025x^4}{6} + O(x^5) = x + 2025x^2 - \frac{x^3}{6} + O(x^4)
xcosx=x(1x22+O(x4))=xx32+O(x5)x \cos x = x(1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)) = x - \frac{x^3}{2} + O(x^5)
分子は
(1+2025x)sinxxcosx=(x+2025x2x36+O(x4))(xx32+O(x5))=2025x2+(1216)x3+O(x4)=2025x2+13x3+O(x4)(1+2025x)\sin x - x \cos x = (x + 2025x^2 - \frac{x^3}{6} + O(x^4)) - (x - \frac{x^3}{2} + O(x^5)) = 2025x^2 + (\frac{1}{2}-\frac{1}{6})x^3 + O(x^4) = 2025x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)
したがって、
(1+2025x)sinxxcosxx2=2025x2+13x3+O(x4)x2=2025+13x+O(x2)\frac{(1+2025x)\sin x - x \cos x}{x^2} = \frac{2025x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)}{x^2} = 2025 + \frac{1}{3}x + O(x^2)
極限を取ると、
limx0(1+2025x)sinxxcosxx2=limx0(2025+13x+O(x2))=2025\lim_{x \to 0} \frac{(1+2025x)\sin x - x \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} (2025 + \frac{1}{3}x + O(x^2)) = 2025

3. 最終的な答え

limx0(1+2025x)sinxxcosxx2=2025\lim_{x \to 0} \frac{(1+2025x)\sin x - x \cos x}{x^2} = 2025

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