(1) 整式 $A = 2x^2 + 7xy + 6y^2 + 3x + 7y - 5$ が与えられている。$6y^2 + 7y - 5$ を因数分解し、$A$ を因数分解する。 (2) 実数 $x$ に関する条件 $p$ と $q$ が与えられている。$p: -1 \leq x \leq \frac{7}{3}$、$q: |3x - 5| \leq 2$。不等式 $|3x - 5| \leq 2$ を解き、$p$ が $q$ であるための条件（必要条件、十分条件など）を答える。

1. 問題の内容

(1) 整式 $A = 2x^2 + 7xy + 6y^2 + 3x + 7y - 5$ が与えられている。$6y^2 + 7y - 5$ を因数分解し、$A$ を因数分解する。

(2) 実数 $x$ に関する条件 $p$ と $q$ が与えられている。$p: -1 \leq x \leq \frac{7}{3}$、$q: |3x - 5| \leq 2$。不等式 $|3x - 5| \leq 2$ を解き、$p$ が $q$ であるための条件（必要条件、十分条件など）を答える。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$6y^2 + 7y - 5$ を因数分解する。

$6y^2 + 7y - 5 = (2y + 5)(3y - 1)$

したがって、ア = 2, イ = 5, ウ = 3, エ = -1

次に、$A = 2x^2 + 7xy + 6y^2 + 3x + 7y - 5$ を因数分解する。

$A = 2x^2 + 7xy + (2y + 5)(3y - 1) + 3x + 7y$

$A = 2x^2 + 7xy + 6y^2 + 3x + 7y - 5$

$A = (x + 2y + a)(2x + 3y + b)$ と仮定する。

展開すると

$A = 2x^2 + 3xy + bx + 4xy + 6y^2 + 2by + ax + \frac{3}{2}ay + ab$

$A = 2x^2 + 7xy + 6y^2 + (a + b)x + (\frac{3}{2}a + 2b)y + ab$

係数を比較すると、

$a + b = 3$

$\frac{3}{2}a + 2b = 7$

$ab = -5$

上の2式から $a$ と $b$ を求めると、

$3a + 4b = 14$

$3a + 3b = 9$

$b = 5$, $a = -2$

$ab = -10 \neq -5$

よって、因数分解を最初からやり直す。

$A = 2x^2 + 7xy + 6y^2 + 3x + 7y - 5$

$A = 2x^2 + (7y + 3)x + (6y^2 + 7y - 5)$

$A = 2x^2 + (7y + 3)x + (2y + 5)(3y - 1)$

$A = (x + (2y + 5))(2x + (3y - 1))$

$A = (x + 2y + 5)(2x + 3y - 1)$

したがって、オ = 2, カ = 5, キ = 3, ク = -1, ケ = -1

(2)

$|3x - 5| \leq 2$ を解く。

$-2 \leq 3x - 5 \leq 2$

$3 \leq 3x \leq 7$

$1 \leq x \leq \frac{7}{3}$

したがって、コ = 1, サ = 7, シ = 3

$p: -1 \leq x \leq \frac{7}{3}$

$q: 1 \leq x \leq \frac{7}{3}$

$q \Rightarrow p$ は真

$p \Rightarrow q$ は偽

したがって、$p$ は $q$ であるための必要条件であるが、十分条件ではない。

3. 最終的な答え

ア = 2, イ = 5, ウ = 3, エ = -1

オ = 2, カ = 5, キ = 3, ク = -1, ケ = -1

コ = 1, サ = 7, シ = 3

ス = 2