2次不等式 $x^2 + (4k - 1)x + \frac{3}{2}k - \frac{1}{2} > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つような、実数 $k$ の範囲を求める問題です。ただし、問題文中の空欄 9 と 10 に当てはまる記号（≦または＜）を、選択肢の中から選びます。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + (4k - 1)x + \frac{3}{2}k - \frac{1}{2} > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つような、実数 $k$ の範囲を求める問題です。ただし、問題文中の空欄 9 と 10 に当てはまる記号（≦または＜）を、選択肢の中から選びます。

2. 解き方の手順

2次不等式 $x^2 + (4k - 1)x + \frac{3}{2}k - \frac{1}{2} > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つためには、2次関数のグラフが常に $x$ 軸より上にある必要があります。これは、2次関数の判別式 $D$ が $D < 0$ であることと同値です。

判別式 $D$ は

$$D = (4k - 1)^2 - 4\left(\frac{3}{2}k - \frac{1}{2}\right) = 16k^2 - 8k + 1 - 6k + 2 = 16k^2 - 14k + 3$$

$D < 0$ より、

$$16k^2 - 14k + 3 < 0$$

この不等式を解きます。まず、2次方程式 $16k^2 - 14k + 3 = 0$ の解を求めます。

$$k = \frac{14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 16 \cdot 3}}{2 \cdot 16} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 192}}{32} = \frac{14 \pm \sqrt{4}}{32} = \frac{14 \pm 2}{32}$$

したがって、$k = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$ または $k = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$ です。

$16k^2 - 14k + 3 < 0$ を満たす $k$ の範囲は $\frac{3}{8} < k < \frac{1}{2}$ です。

選択肢より、 9 には $\frac{3}{8}$ 、 10 には $\frac{1}{2}$ が当てはまり、その間の不等号は＜なので、選択肢②を選びます。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{8} < k < \frac{1}{2}$