与えられた2次関数 $y = x^2 - 2(a-2)x + 2a^2 - 7a$ のグラフ $G$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $G$ の頂点の座標を求め、$G$ が $x$ 軸と共有点を持つような $a$ の値の範囲を求めます。 (2) $G$ が $x$ 軸と共有点を持ち、さらにそのすべての共有点の $x$ 座標が $0$ より大きくなるような $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = x^2 - 2(a-2)x + 2a^2 - 7a$ のグラフ $G$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $G$ の頂点の座標を求め、$G$ が $x$ 軸と共有点を持つような $a$ の値の範囲を求めます。

(2) $G$ が $x$ 軸と共有点を持ち、さらにそのすべての共有点の $x$ 座標が $0$ より大きくなるような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= x^2 - 2(a-2)x + 2a^2 - 7a \\

&= (x - (a-2))^2 - (a-2)^2 + 2a^2 - 7a \\

&= (x - (a-2))^2 - (a^2 - 4a + 4) + 2a^2 - 7a \\

&= (x - (a-2))^2 + a^2 - 3a - 4

\end{align*}

したがって、頂点の座標は $(a-2, a^2-3a-4)$ となります。

次に、$G$ が $x$ 軸と共有点を持つ条件を求めます。

$x$軸と共有点を持つ条件は、頂点の $y$ 座標が $0$ 以下であることです。

つまり、$a^2 - 3a - 4 \leq 0$ を解きます。

\begin{align*}

a^2 - 3a - 4 &\leq 0 \\

(a - 4)(a + 1) &\leq 0

\end{align*}

したがって、$-1 \leq a \leq 4$ が条件となります。

(2)

$G$ が $x$ 軸と共有点を持ち、さらにそのすべての共有点の $x$ 座標が $0$ より大きくなる条件を考えます。

まず、$x$軸と共有点を持つ条件は $-1 \leq a \leq 4$ でした。

次に、軸の位置が $x > 0$ である必要があります。

軸の方程式は $x = a - 2$ なので、$a - 2 > 0$ 、つまり $a > 2$ となります。

最後に、$f(0) > 0$ である必要があります。

$f(x) = x^2 - 2(a-2)x + 2a^2 - 7a$ なので、

\begin{align*}

f(0) &= 2a^2 - 7a > 0 \\

a(2a - 7) &> 0

\end{align*}

したがって、$a < 0$ または $a > \frac{7}{2}$ となります。

これら3つの条件をすべて満たす $a$ の範囲を求めます。

\begin{itemize}

\item $-1 \leq a \leq 4$

\item $a > 2$

\item $a < 0$ または $a > \frac{7}{2}$

\end{itemize}

$2 < a \leq 4$ と $a > \frac{7}{2}$ を満たす $a$ は、$\frac{7}{2} < a \leq 4$ となります。

3. 最終的な答え

(1)

頂点の座標は $(a-2, a^2-3a-4)$ です。

$G$ が $x$ 軸と共有点を持つような $a$ の値の範囲は $-1 \leq a \leq 4$ です。

(2)

$G$ が $x$ 軸と共有点を持ち、さらにそのすべての共有点の $x$ 座標が $0$ より大きくなるような $a$ の値の範囲は $\frac{7}{2} < a \leq 4$ です。