直線 $y = 4x + 5$ と放物線 $y = x^2$ が交わっている図がある。直線と曲線の交点のうち、$x$ 座標が正の点を A、直線と $x$ 軸が交わる点を B、原点を O としたとき、次の問いに答えなさい。 (1) 点 B の $x$ 座標を求めなさい。 (2) $\triangle OAB$ の面積を求めなさい。 (3) 曲線上に $x$ 座標が負となる点 C がある。$\triangle OAB$ と $\triangle OAC$ の面積が等しくなるとき、点 C の $x$ 座標を求めなさい。

1. 問題の内容

直線 $y = 4x + 5$ と放物線 $y = x^2$ が交わっている図がある。直線と曲線の交点のうち、$x$ 座標が正の点を A、直線と $x$ 軸が交わる点を B、原点を O としたとき、次の問いに答えなさい。

(1) 点 B の $x$ 座標を求めなさい。

(2) $\triangle OAB$ の面積を求めなさい。

(3) 曲線上に $x$ 座標が負となる点 C がある。$\triangle OAB$ と $\triangle OAC$ の面積が等しくなるとき、点 C の $x$ 座標を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 点 B は直線 $y = 4x + 5$ と $x$ 軸との交点なので、$y = 0$ を代入して $x$ 座標を求める。

$0 = 4x + 5$

$4x = -5$

$x = -\frac{5}{4}$

(2) 点 A は直線 $y = 4x + 5$ と放物線 $y = x^2$ の交点なので、連立方程式を解く。

$x^2 = 4x + 5$

$x^2 - 4x - 5 = 0$

$(x - 5)(x + 1) = 0$

$x = 5, -1$

$x$ 座標が正の点なので、$x = 5$ である。

$y = 4(5) + 5 = 25$

よって、点 A の座標は $(5, 25)$ である。

$\triangle OAB$ の面積を求める。

点 B の座標は $(-\frac{5}{4}, 0)$ なので、線分 OB の長さは $\frac{5}{4}$ となる。

線分 OB を底辺とすると、$\triangle OAB$ の高さは点 A の $y$ 座標である 25 となる。

$\triangle OAB$ の面積は $\frac{1}{2} \times \frac{5}{4} \times 25 = \frac{125}{8}$

(3) 点 C は放物線 $y = x^2$ 上の点で、$x$ 座標が負である。点 C の $x$ 座標を $t$ とすると、$t < 0$ であり、点 C の座標は $(t, t^2)$ となる。

$\triangle OAC$ の面積が $\triangle OAB$ の面積と等しくなるので、$\triangle OAC = \frac{125}{8}$ である。

$\triangle OAC$ の面積を求める。点 A の座標は $(5, 25)$ であり、点 C の座標は $(t, t^2)$ である。

$\triangle OAC$ の面積は $\frac{1}{2} |5t^2 - 25t|$ である。

$\frac{1}{2} |5t^2 - 25t| = \frac{125}{8}$

$|5t^2 - 25t| = \frac{125}{4}$

$|t^2 - 5t| = \frac{25}{4}$

$t^2 - 5t = \frac{25}{4}$ または $t^2 - 5t = -\frac{25}{4}$

(i) $t^2 - 5t = \frac{25}{4}$ の場合

$4t^2 - 20t - 25 = 0$

$t = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 400}}{8} = \frac{20 \pm \sqrt{800}}{8} = \frac{20 \pm 20\sqrt{2}}{8} = \frac{5 \pm 5\sqrt{2}}{2}$

$t < 0$ なので、$t = \frac{5 - 5\sqrt{2}}{2}$

(ii) $t^2 - 5t = -\frac{25}{4}$ の場合

$4t^2 - 20t + 25 = 0$

$(2t - 5)^2 = 0$

$2t - 5 = 0$

$t = \frac{5}{2}$

これは $t < 0$ を満たさないので不適。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{5}{4}$

(2) $\frac{125}{8}$

(3) $\frac{5 - 5\sqrt{2}}{2}$