与えられた12個の式を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた12個の式を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で因数分解を行います。

(1) $ab - 3b$:

共通因数 $b$ でくくります。

$ab - 3b = b(a-3)$

(2) $x^2 + x$:

共通因数 $x$ でくくります。

$x^2 + x = x(x+1)$

(3) $6x^2y + 3x^2y$:

共通因数 $3x^2y$ でくくります。

$6x^2y + 3x^2y = 3x^2y(2+1)=9x^2y$

(4) $x^2 + 9x + 18$:

足して9、掛けて18になる2つの数（3と6）を探します。

$x^2 + 9x + 18 = (x+3)(x+6)$

(5) $3y^2 - 18y - 48$:

まず3でくくります。

$3y^2 - 18y - 48 = 3(y^2 - 6y - 16)$

次に、$y^2 - 6y - 16$ を因数分解します。足して-6、掛けて-16になる2つの数（2と-8）を探します。

$3(y^2 - 6y - 16) = 3(y+2)(y-8)$

(6) $x^2 + xy - 6y^2$:

$x$についての二次式と見て、因数分解します。足して$y$、掛けて$-6y^2$になる2つの式（$3y$と$-2y$）を探します。

$x^2 + xy - 6y^2 = (x+3y)(x-2y)$

(7) $x^2 - 25$:

これは二乗の差の形なので、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の公式を利用します。

$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x+5)(x-5)$

(8) $x^2 + 6x + 9$:

これは完全平方式の形なので、$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ の公式を利用します。

$x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$

(9) $4x^2 - 12x + 9$:

これも完全平方式の形なので、$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ の公式を利用します。

$4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = (2x-3)^2$

(10) $ax^2 - 15ax + 54a$:

まず、$a$ でくくります。

$ax^2 - 15ax + 54a = a(x^2 - 15x + 54)$

次に、$x^2 - 15x + 54$ を因数分解します。足して-15、掛けて54になる2つの数（-6と-9）を探します。

$a(x^2 - 15x + 54) = a(x-6)(x-9)$

(11) $(x+y)^2 + 2(x+y) + 1$:

$x+y = A$ とおくと、$A^2 + 2A + 1$ となります。これは完全平方式なので、$A^2 + 2A + 1 = (A+1)^2$

したがって、$(x+y)^2 + 2(x+y) + 1 = ((x+y) + 1)^2 = (x+y+1)^2$

(12) $2x(y-1) - y + 1$:

$-y+1$ を $-(y-1)$ と変形します。

$2x(y-1) - y + 1 = 2x(y-1) - (y-1)$

共通因数 $y-1$ でくくります。

$2x(y-1) - (y-1) = (y-1)(2x-1)$

3. 最終的な答え

(1) $b(a-3)$

(2) $x(x+1)$

(3) $9x^2y$

(4) $(x+3)(x+6)$

(5) $3(y+2)(y-8)$

(6) $(x+3y)(x-2y)$

(7) $(x+5)(x-5)$

(8) $(x+3)^2$

(9) $(2x-3)^2$

(10) $a(x-6)(x-9)$

(11) $(x+y+1)^2$

(12) $(y-1)(2x-1)$