$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ のとき、以下の問いに答えます。 (1) $2^{32}$ は何桁の整数か。 (2) $3^n$ が12桁の整数となる自然数 $n$ の値をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ のとき、以下の問いに答えます。

(1) $2^{32}$ は何桁の整数か。

(2) $3^n$ が12桁の整数となる自然数 $n$ の値をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $2^{32}$ の桁数を求める

$2^{32}$ の桁数を求めるために、常用対数をとります。

$\log_{10}2^{32} = 32\log_{10}2$

$\log_{10}2 = 0.3010$ を代入します。

$\log_{10}2^{32} = 32 \times 0.3010 = 9.632$

$2^{32}$ の桁数は、$\log_{10}2^{32}$ の整数部分に1を足したものです。

整数部分は9なので、$2^{32}$ の桁数は $9 + 1 = 10$ 桁です。

(2) $3^n$ が12桁の整数となる $n$ の値を求める

$3^n$ が12桁の整数であるということは、$10^{11} \le 3^n < 10^{12}$ であるということです。

常用対数をとると、

$11 \le n\log_{10}3 < 12$ となります。

$\log_{10}3 = 0.4771$ を代入します。

$11 \le 0.4771n < 12$

$11 \le 0.4771n$ より、$n \ge \frac{11}{0.4771} \approx 23.055$

$0.4771n < 12$ より、$n < \frac{12}{0.4771} \approx 25.152$

$n$ は自然数なので、$24 \le n \le 25$ となります。

したがって、$n = 24, 25$

3. 最終的な答え

(1) 10桁

(2) $n = 24, 25$