$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ を $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形せよ。ただし、$r > 0$, $-\pi < \alpha \le \pi$ とする。

1. 問題の内容

$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ を $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形せよ。ただし、$r > 0$, $-\pi < \alpha \le \pi$ とする。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行う。

$r \sin(\theta + \alpha) = r(\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha) = (r \cos \alpha) \sin \theta + (r \sin \alpha) \cos \theta$

これと与えられた式 $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ を比較すると、

$r \cos \alpha = 1$

$r \sin \alpha = \sqrt{3}$

両辺をそれぞれ2乗して足し合わせると、

$r^2 \cos^2 \alpha + r^2 \sin^2 \alpha = 1^2 + (\sqrt{3})^2$

$r^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 1 + 3$

$r^2 = 4$

$r > 0$ より $r = 2$

$r \cos \alpha = 1$ より $\cos \alpha = \frac{1}{2}$

$r \sin \alpha = \sqrt{3}$ より $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$ かつ $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\alpha$ は $\alpha = \frac{\pi}{3}$ である。

$-\pi < \alpha \le \pi$ の条件も満たしている。

したがって、$r = 2$、$\alpha = \frac{\pi}{3}$ より、$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 2 \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ となる。

3. 最終的な答え

$2 \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$